Fixpunktsatz von Lefschetz

Beim Fixpunktsatz v​on Lefschetz handelt e​s sich u​m einen topologischen Satz, gemäß d​em bei bestimmten stetigen Abbildungen d​ie Existenz e​ines Fixpunkts gesichert ist. Grundlage d​es von Solomon Lefschetz 1926 bewiesenen[1] Satzes i​st die sogenannte Lefschetz-Zahl, b​ei der e​s sich u​m eine Kenngröße stetiger Abbildungen handelt, d​ie mit Hilfe relativ abstrakter Konzepte d​er algebraischen Topologie definiert w​ird und e​ine Homotopie-Invariante ist.

Eine Verschärfung d​es Fixpunktsatzes i​st die Fixpunktformel v​on Lefschetz, b​ei welcher d​ie Lefschetz-Zahl a​ls Summe über Fixpunktindizes ausgedrückt wird. Als Spezialfall d​es Lefschetz’schen Fixpunktsatzes ergibt s​ich der Fixpunktsatz v​on Brouwer u​nd eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Satzes i​st der Fixpunktsatz v​on Atiyah u​nd Bott a​us dem Bereich d​er Globalen Analysis.

Lefschetz-Zahl

Die Lefschetz-Zahl lässt s​ich für j​ede stetige Selbstabbildung

${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$

auf einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ definieren, deren sämtliche Bettizahlen, das sind die Dimensionen der als Vektorräume aufgefassten singulären Homologie-Gruppen, endlich sind:

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {Tr} (f_{k}|H_{k}(X,\mathbb {Q} )),}$

Bei den Summanden der alternierenden Summe handelt es sich um die Spuren der auf den Homologie-Gruppen durch ${\displaystyle f}$ induzierten Homomorphismen ${\displaystyle f_{k}}$. Lefschetz-Zahlen sind grundsätzlich ganze Zahlen. Aufgrund ihrer Definition ändern sie sich nicht beim Übergang zu einer homotopen Abbildung.

Die Lefschetz-Zahl z​ur identischen Abbildung i​st gleich d​er Euler-Charakteristik

${\displaystyle \chi (X)=\,\Lambda _{\mathrm {id} }.}$

Fixpunktsatz von Lefschetz

Beispielsweise im Fall, dass der topologische Raum eine endliche Triangulierung ${\displaystyle K}$ besitzt (er ist dann insbesondere kompakt), kann die Lefschetz-Zahl bereits auf dem Niveau des zugeordneten endlichen Ketten-Komplexes ${\displaystyle C_{*}(K,\mathbb {Q} )}$ berechnet werden. Konkret gilt für eine simpliziale Approximation ${\displaystyle f^{K}}$ der Abbildung ${\displaystyle f}$ die sogenannte Lefschetz-Hopfsche-Spurformel[2]

${\displaystyle \Lambda _{f}=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {Tr} (f_{k}^{K}|C_{k}(K,\mathbb {Q} )).}$

Bei einer fixpunktfreien Selbstabbildung ${\displaystyle f}$, das heißt einer Abbildung ${\displaystyle f}$ ohne Punkte ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle f(x)=x}$, kann dann mittels einer genügend verfeinerten Triangulierung ${\displaystyle \Lambda _{f}=0}$ nachgewiesen werden.

Umgekehrt muss damit jede Selbstabbildung ${\displaystyle f}$ mit einer Lefschetz-Zahl ${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0}$ mindestens einen Fixpunkt besitzen. Dies ist die Aussage des Fixpunktsatzes von Lefschetz.

Fixpunktformel von Lefschetz

Die Lefschetz-Zahl einer Abbildung hängt nur von deren Verhalten in Umgebungen der Fixpunkt-Komponenten ab. Besitzt die Abbildung ${\displaystyle f}$ nur isolierte Fixpunkte, kann die Lefschetz-Zahl durch die Formel

${\displaystyle \Lambda _{f}=\sum _{x\in \operatorname {Fix} (f)}i(f,x)}$

ausgedrückt werden. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {Fix} (f)}$ die endliche Menge der isolierten Fixpunkte und ${\displaystyle i(f,x)}$ den Fixpunkt-Index zum Fixpunkt ${\displaystyle x}$.

Der Fixpunkt-Index kann als Multiplizität des betreffenden Fixpunktes aufgefasst werden: Ist ${\displaystyle x}$ ein im Inneren gelegener Fixpunkt eines Polyeders ${\displaystyle X}$, dann ist sein Fixpunkt-Index ${\displaystyle i(f,x)}$ gleich dem Abbildungsgrad der auf einer kleinen Sphäre um ${\displaystyle x}$ definierten Abbildung

${\displaystyle g(y)={\frac {y-f(y)}{||y-f(y)||}}.}$

Der Fixpunktsatz von Brouwer als Spezialfall

Da bei der abgeschlossenen ${\displaystyle n}$-dimensionalen Einheitskugel ${\displaystyle D^{n}}$ für alle ${\displaystyle k\geq 1}$ die Homologie-Gruppen ${\displaystyle H_{k}(D^{n},\mathbf {Q} )}$ verschwinden, ist die Lefschetz-Zahl jeder Selbstabbildung auf ${\displaystyle D^{n}}$ gleich 1. Jede solche Abbildung muss also mindestens einen Fixpunkt besitzen.

Einzelnachweise

1. S. Lefschetz: Intersections and transformations of complexes and manifolds, Transactions American Mathematical Society 1926, Bd. 28, S. 1–49 (Online; PDF; 4,3 MB)
2. Heinz Hopf: A new proof of the Lefschetz formula on invariant points, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, Bd. 14 (1928), S. 149–153 (Online; PDF; 421 kB)

Weblinks

• Algebraische Topologie und Fixpunkte. Einführender Überblicksartikel von Jörg Bewersdorff. (PDF-Datei; 179 kB)

Literatur

• Robert F. Brown: Fixed Point Theory. In: I. M. James: History of Topology. Elsevier, Amsterdam u. a. 1999, ISBN 0-444-82375-1, S. 271–299.