Arnolds Katzenabbildung

Arnolds Katzenabbildung (auch Anosovs Katzenabbildung) i​st in d​er Theorie d​er dynamischen Systeme d​as einfachste Beispiel e​ines Anosov-Diffeomorphismus u​nd damit e​in explizit berechenbares chaotisches System. Sie i​st benannt n​ach Wladimir Igorewitsch Arnold, d​er die Eigenschaften d​er Transformation anhand d​er Darstellung e​iner Katze demonstrierte.

Das Bild zeigt, wie die Abbildung mit der Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}\right)}$ das Einheitsquadrat verformt und wie die Stücke modulo 1 neu arrangiert werden. Die gestrichelten Linien geben die Richtungen maximaler Streckung und Stauchung an, sie entsprechen den Eigenvektoren der Matrix.

Definition

Arnolds Katzenabbildung ist die Selbstabbildung des Torus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ definiert durch

${\displaystyle F(x,y)=(2x+y,x+y)\mod 1}$

oder i​n Matrixnotation

${\displaystyle F\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mod 1={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mod 1.}$

Eigenschaften

Diskretisierung für n = 150. Nach 300 Iterationen erhält man wieder die Identitätsabbildung.

• Die Abbildung ist ein Anosov-Diffeomorphismus: die Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}\right)}$ hat zwei Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{1}>1}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}<1}$, die Eigenvektoren liefern eine Zerlegung

${\displaystyle T_{x}T^{2}=E_{x}^{u}\oplus E_{x}^{s}}$

in jedem Punkt ${\displaystyle x\in T^{2}}$, wobei ${\displaystyle E_{x}^{u}}$ und ${\displaystyle E_{x}^{s}}$ nach der kanonischen Identifizierung

${\displaystyle T_{x}T^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}}$

den Eigenvektoren zu ${\displaystyle \lambda _{1}}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}}$ entsprechen. Die Projektionen der zu den Eigenvektoren parallelen Geraden auf den Torus sind die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Abbildung.

• Der Nullpunkt ist der einzige Fixpunkt. Die Anzahl der periodischen Punkte mit Periode ${\displaystyle n}$ ist

${\displaystyle \lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2}$.

Die periodischen Punkte liegen dicht. Ein Punkt ist genau dann präperiodisch, wenn er rationale Koordinaten hat.

• Die Abbildung ist topologisch transitiv.
• Die Abbildung ist flächenerhaltend, ergodisch und mischend.
• Die Umkehrabbildung ist gegeben durch

${\displaystyle F^{-1}(x,y)=(2x-y,-x+y)\mod 1}$.

• Die Diskretisierung

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2}\to (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2}}$

ist periodisch mit Periode ${\displaystyle \leq 3n}$.

Literatur

• Vladimir I. Arnold, André Avez: Ergodic problems of classical mechanics. Translated from the French by A. Avez. W. A. Benjamin, Inc., New York – Amsterdam 1968.
• Freeman Dyson, Harold Falk: Period of a discrete cat mapping. Amer. Math. Monthly 99 (1992), 603–614.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Arnolds Katzenabbildung. In: MathWorld (englisch).