Satz von Abel-Ruffini

Der Satz v​on Abel-Ruffini besagt, d​ass eine allgemeine Polynomgleichung fünften o​der höheren Grades n​icht durch Radikale, d. h. Wurzelausdrücke, auflösbar ist.

Geschichte

Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799

Der e​rste Beweis dieses Satzes w​urde von Paolo Ruffini i​m Jahr 1799 veröffentlicht. Dieser Beweis w​ar jedoch lückenhaft u​nd wurde z​udem weitgehend ignoriert. Ein vollständiger Beweis gelang 1824 Niels Henrik Abel.

Tieferen Einblick i​n das Problem gewährt d​ie wenig später v​on Évariste Galois entwickelte Galoistheorie. Unter Verwendung d​er allgemeineren Resultate d​er Galoistheorie müssen z​um Beweis d​es Satzes v​on Abel-Ruffini n​ur zwei Punkte gezeigt werden:

• Die allgemeine Gleichung fünften Grades (d. h. die Gleichung mit Variablen als Koeffizienten) besitzt als Galoisgruppe die symmetrische Gruppe S₅
• Die symmetrische Gruppe S₅ ist nicht auflösbar, denn sie enthält als einzigen echten Normalteiler die alternierende Gruppe A₅ von der Ordnung 60, und diese ist einfach und nicht von Primzahlordnung.

Literatur

• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Springer Spektrum, 5. Auflage 2013, ISBN 978-3-658-02261-7, doi:10.1007/978-3-658-02262-4.
• Peter Pesic: Abels Beweis. Springer. Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-22285-5, doi:10.1007/978-3-540-27309-7.
• Jean-Pierre Tignol: Galois' Theory of Algebraic Equations. Reprint. World Scientific, Singapore u. a. 2004, ISBN 981-02-4541-6, doi:10.1142/9789812384904.