σ-kompakter Raum

Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet. Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.[1]

Der Begriff i​st wichtig für d​ie abstrakte Integrationstheorie, zusammen m​it Lokalkompaktheit u​nd dem Trennungsaxiom T3 garantiert e​r die Existenz e​iner kompakten Ausschöpfung.[2]

Beispielsweise ist , ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt , so dass sich als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume darstellen lässt.

Literatur
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.
  • Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2.

Einzelnachweise
  1. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-56860-2, S. 111 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 336.
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