Zufällige Fuzzymenge

Eine zufällige Fuzzymenge (engl. random f​uzzy set) i​st eine Fuzzymenge, d​eren Charakteristika (z. B. Größe, Form, Lage) v​om Zufall abhängen. Wenn z. B. zufällig ausgewählte Probanden d​ie Akzeptanz e​ines neuen Produktes d​urch sprachliche Ausdrücke w​ie „hoch“, „mäßig“ o​der „niedrig“ charakterisieren u​nd diese unscharfen sprachlichen Ausdrücke sinnvollerweise d​urch Fuzzymengen modelliert werden, d​ann haben w​ir eine zufällige Fuzzymenge m​it den möglichen Werten „hoch“, „mäßig“ u​nd „niedrig“. Eine zufällige Fuzzymenge i​st eine Verallgemeinerung d​es Begriffes „zufällige Menge“. Erste Untersuchungen z​u zufälligen Fuzzymengen g​ab es 1976 v​on R. Féron[1] u​nd 1986 v​on M. L. Puri u​nd D. A. Ralescu, damals allerdings n​och als „fuzzy random variables“ bezeichnet.[2]

Definitionen

Sei ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ der ${\displaystyle d}$ -dimensionale euklidische Raum und ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(\mathbb {R} ^{d})}$ die Menge aller Fuzzymengen ${\displaystyle A}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ mit den Eigenschaften

• Die Zugehörigkeitsfunktion ${\displaystyle m_{A}}$ ist von oben halbstetig.
• Der Träger von ${\displaystyle A}$ , nämlich die Abschließung von ${\displaystyle \operatorname {supp} A=\{x\in \mathbb {R} ^{d}:m_{A}(x)>0\}}$ , ist kompakt.
• ${\displaystyle A}$ ist normal, d. h. ${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} ^{d}:m_{A}(a)=1}$ .

Sei nun ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Die Abbildung ${\displaystyle Y|\Omega \to {\mathfrak {F}}(\mathbb {R} ^{d})}$ heißt zufällige Fuzzymenge, wenn für jedes ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ der ${\displaystyle \alpha }$ -Schnitt ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ eine kompakte zufällige Menge ist (siehe[2]). Man beachte, dass der Begriff der zufälligen Fuzzymenge auf den Begriff der zufälligen kompakten Menge zurückgeführt wird. Dadurch wird einerseits vermieden, dass eine geeignete Sigma-Algebra konstruiert werden muss, bzgl. der die Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ messbar ist, aber andererseits auch Allgemeinheit eingebüßt, weil man sich auf Fuzzymengen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ mit kompakten ${\displaystyle \alpha }$ -Schnitten beschränkt.

Erwartungswert einer zufälligen Fuzzymenge

Sei ${\displaystyle Y}$ eine zufällige Fuzzymenge. Der Erwartungswert ${\displaystyle EY}$ ist die Fuzzymenge, deren ${\displaystyle \alpha }$ -Schnitte ${\displaystyle (EY)_{\alpha }}$ gleich den Aumann-Erwartungswerten ${\displaystyle E_{A}Y_{\alpha }}$ der kompakten ${\displaystyle \alpha }$ -Schnitte ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ sind[2], d. h.

${\displaystyle (EY)_{\alpha }=E_{A}Y_{\alpha }}$ .

Für eine zufällige Dreiecks-Fuzzy-Zahl ${\displaystyle Y=(a,\Delta )}$ ergibt sich beispielsweise ganz einfach (siehe z. B.[3])

${\displaystyle E(a,\Delta )=(Ea,E\Delta )}$ .

Weiteres

Unter Benutzung einer geeigneten Metrik ${\displaystyle d}$ zwischen Fuzzymengen kann unter Beachtung des Fréchet-Prinzips auch eine Varianz gemäß

${\displaystyle VarY=Ed^{2}(Y,EY)}$

definiert werden.[4] Diese Varianz i​st reellwertig, i​m Unterschied z​ur fuzzymengenwertigen Varianz e​iner Fuzzy-Zufallsvariable. Aktuell lesenswert ist[5], insbesondere, w​enn es u​m die methodologischen Unterschiede zwischen zufälligen Fuzzymengen u​nd Fuzzy-Zufallsvariablen geht.

Einzelnachweise

1. Féron, R. (1976). Ensembles aléatoires flous. C.R.Acad.Sci.Paris.Ser.A 282, 903–906
2. Puri, M.L. and D.A. Ralescu (1986). Fuzzy random variables. Journ.Math.Anal.Appl. 114, 409–422
3. Näther, W. (2000). On Random Fuzzy Variables of Second Order and Their Application to Linear Statistical Inference with Fuzzy Data. Metrika 51, 201–221.
4. Körner, R. (1997). On the variance of fuzzy random variables. Fuzzy Sets and Systems 92, 83–93
5. I. Couso, D. Dubous and Sanchez, L. (2014). Random Sets and Random Fuzzy Sets as Ill-Perceived Random Variables. Springer