Fuzzy-Zufallsvariable

Eine Fuzzy-Zufallsvariable, engl. Fuzzy Random Variable, i​st eine (scharfe) Zufallsvariable, d​ie aber n​ur unscharf wahrgenommen werden kann. Fuzzy-Zufallsvariablen wurden erstmals 1978 v​on H. Kwakernaak[1] u​nd 1987 ausführlicher v​on R. Kruse u​nd K.D. Meyer[2] behandelt. Man betrachte z. B. e​inen Schwarm v​on Maifliegen (das Beispiel stammt aus[2]). Das aktuelle Alter e​iner zufällig herausgegriffenen Fliege i​st eine (positiv reellwertige) Zufallsgröße, allerdings i​st diese n​icht exakt beobachtbar, w​eil das genaue Geburtsdatum d​er Maifliege n​icht bekannt ist. Man w​ird also d​as Alter n​ur unscharf z. B. a​ls „jung“, „mittleres Alter“ o​der „alt“ wahrnehmen können.

Definitionen

Seien ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {B}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle S}$ eine Menge von Zugehörigkeitsfunktionen auf einer Grundmenge ${\displaystyle U}$ , häufig ist ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ . Eine Fuzzy-Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ ist nun eine Abbildung ${\displaystyle Y|\Omega \to S}$ , wobei an ${\displaystyle S}$ bzw. an die resultierenden Zugehörigkeitsfunktionen

${\displaystyle m_{Y(\omega )}(x),\quad \omega \in \Omega ,\quad x\in U}$

noch (hier unterdrückte) Forderungen gestellt werden, die die Messbarkeit von ${\displaystyle Y}$ sichern, siehe aber[2]. Sei weiter ${\displaystyle O}$ die Menge aller scharfen Zufallsvariablen auf ${\displaystyle U}$ , hier Menge der Originale genannt. Eine wesentliche Rolle, insbesondere für die Grundlagen einer Statistik mit unscharfen Daten, spielt nun die Fuzzymenge ${\displaystyle O_{Y}}$ aller möglichen Originale der Fuzzy-Zufallsvariablen ${\displaystyle Y}$ . Diese Fuzzymenge hat die Zugehörigkeitsfunktion

${\displaystyle m_{O_{Y}}(Z)=\inf _{\omega \in \Omega }m_{Y(\omega )}(Z(\omega )),\quad Z\in O}$ .

${\displaystyle m_{O_{Y}}(Z)}$ beschreibt den Grad der Möglichkeit, dass ${\displaystyle Z}$ ein (nichtbeobachtbares) Original von ${\displaystyle Y}$ ist. Etwas salopper ausgedrückt: Welche (scharfen) Zufallsgrößen ${\displaystyle Z}$ sind möglich, wenn man nur das unscharfe ${\displaystyle Y}$ beobachten kann. Auf obiges Beispiel mit dem Schwarm von Maifliegen bezogen: Welche (scharfen) Alterskonstellationen sind möglich, wenn man nur Zufallsvariablen mit den Werten "jung", "mittleres Alter" und "alt" beobachten kann.

Erwartungswert einer Fuzzy-Zufallsvariablen

Der Erwartungswert ${\displaystyle EY}$ einer Fuzzy-Zufallsvariablen ${\displaystyle Y}$ ist die Fuzzymenge auf ${\displaystyle U}$ , die gemäß dem sogenannten Erweiterungsprinzip [3] durch

${\displaystyle m_{EY}(x)=\sup _{Z\in O:EZ=x}m_{O_{Y}}(Z),\quad x\in U}$

erhalten wird. Dieser Erwartungswert stimmt mit dem Erwartungswert einer zufälligen Fuzzymenge überein.[2] Im Spezialfall ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ kann ${\displaystyle EY}$ mittels der Alpha-Schnitte ${\displaystyle (EY)_{\alpha }}$ konstruiert werden durch die Intervalle

${\displaystyle (EY)_{\alpha }=[E\inf(Y(\omega ))_{\alpha },E\sup(Y(\omega ))_{\alpha }],\quad \alpha \in (0,1]}$ .

Weiteres

Für Fuzzy-Zufallsvariablen k​ann auch e​ine Varianz definiert werden.[2] Sie i​st eine Fuzzymenge. Im Unterschied d​azu ist d​ie Varianz e​iner zufälligen Fuzzymenge e​ine reelle Zahl.[4]

Einzelnachweise

1. Kwakernaak, H. (1978). Fuzzy random variables. Part I: Definitions and theorems. Information Sciences 15, 1–15
2. Kruse, R. and Meyer, K.D. (1987). Statistics with Vague Data. Reidel, Dordrecht
3. D. Dubois and H. Prade (1980) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York
4. Körner, R. (1997). On the variance of fuzzy random variables. Fuzzy Sets and Systems 92, 83–93

Literaturhinweise

• I. Couso, D. Dubois and Sanchez, L. (2014). Random Sets and Random Fuzzy Sets as Ill-Perceived Random Variables. Springer
• I. Couso and Dubois, D. (2009). On the variability of the concept of variance for fuzzy random variables. IEEE Trans. Fuzzy Syst. 17, 1070–1080
• V. Krätschmer (2001). A unified approach to fuzzy random variables. Fuzzy Sets and Systems 123, 1–9