Zahmheits-Satz

In d​er Mathematik i​st die Zahmheits-Vermutung e​ine auf Albert Marden zurückgehende Vermutung a​us der Theorie d​er Kleinschen Gruppen i​n der 3-dimensionalen Topologie, d​ie 2004 v​on Ian Agol, Danny Calegari u​nd David Gabai bewiesen wurde.

Aussage

Jede vollständige, 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit m​it endlich erzeugter Fundamentalgruppe i​st topologisch zahm, d​as heißt i​st homöomorph z​um Inneren e​iner kompakten Mannigfaltigkeit.

Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten

Aus der topologischen Zahmheit folgt unmittelbar, dass sich jede orientierbare vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe zerlegen lässt in einen kompakten Kern (welcher homöomorph zu ist) und endlich viele zusammenhängende „Enden“, welche von der Form sind. Dabei sind die Flächen homöomorph zu den Zusammenhangskomponenten von .

Rolle der Hyperbolizität

Die Annahme, dass hyperbolisch ist, spielt eine wesentliche Rolle im Beweis der Zahmheits-Vermutung. Es gibt Gegenbeispiele von (nicht-hyperbolischen) 3-Mannigfaltigkeiten mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe, deren Enden nicht zahm sind.

Literatur

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