Yukawa-Wechselwirkung

Die Yukawa-Wechselwirkung ist in der Teilchenphysik eine Wechselwirkung zwischen einem skalaren oder pseudoskalaren Feld ${\displaystyle \phi }$ mit Spin 0 und einem fermionischen Feld ${\displaystyle \psi }$ mit Spin ½. Sie wurde zuerst von Hideki Yukawa im Jahr 1935 vorgeschlagen, um die Bindung zwischen Protonen und Neutronen, die beide Fermionen sind, im Atomkern zu erklären.[1] Das von Yukawa postulierte skalare Teilchen wurde im Jahr 1947 in Form des Pions in der kosmischen Strahlung nachgewiesen. Für seine Theorie erhielt Yukawa den Nobelpreis für Physik des Jahres 1949.

Auf d​er Ebene d​er Elementarteilchen w​ird der Zusammenhalt d​es Atomkerns inzwischen v​on der Quantenchromodynamik erklärt, d​eren Pseudo-Goldstone-Boson d​as Pion a​ls zusammengesetztes Teilchen ist. Stattdessen findet d​ie Yukawa-Wechselwirkung i​m Standardmodell d​er Elementarteilchenphysik i​hren Platz i​n der Wechselwirkung zwischen d​em Higgs-Feld u​nd den elementaren Fermionen, d​ie ihnen i​m Rahmen d​es Higgs-Mechanismus i​hre Masse zuweist.

Mathematische Beschreibung

Die Wechselwirkung zwischen Elementarteilchen w​ird durch d​ie Lagrangedichte beschrieben. In dieser befinden s​ich kinetische Terme, d​ie die Bewegung d​er Teilchen beschreiben u​nd die Wechselwirkungsterme. Der Wechselwirkungsterm für d​ie Yukawa-Wechselwirkung zwischen e​inem Skalar u​nd einem Fermion ist

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {SF} }=-g{\bar {\psi }}\phi \psi }$

mit einer Kopplungskonstante ${\displaystyle g}$. Für ein pseudoskalares Teilchen lautet der Wechselwirkungsterm

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {PF} }=-\mathrm {i} g{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\phi \psi }$

mit der fünften Dirac-Matrix ${\displaystyle \gamma ^{5}}$.

Die vollständige Lagrangedichte für e​ine Theorie m​it einer Yukawa-Wechselwirkung lautet dann:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\psi })\psi +{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m_{\phi }^{2}\phi ^{2}-g{\bar {\psi }}\phi \psi }$

Dabei sind

• ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ die Dirac-Matrizen,
• ${\displaystyle m_{\psi }}$ die Masse des Fermions und
• ${\displaystyle m_{\phi }}$ die Masse des skalaren Teilchens.

Zusammenhang zum Yukawa-Potential

Das Yukawa-Potential i​st das Potential, d​as durch e​ine Yukawa-Wechselwirkung induziert wird. Es lautet i​n führender Ordnung d​er Störungsreihe

${\displaystyle V(r)=-{\frac {g^{2}}{4\pi r}}e^{-m_{\phi }r}}$

und erweitert das Coulomb-Potential der Elektrostatik um einen von der Masse des Skalars abhängigen, exponentiell abfallenden Faktor. Das Coulomb-Potential wird durch den Limes ${\displaystyle m\to 0}$, wie er für das Photon erfüllt ist, erreicht. In dieser führenden Ordnung existiert kein Unterschied, ob das wechselwirkende Teilchen ein Skalar oder ein Vektor wie das Photon ist.

Das Potential ergibt sich aus der Streuung von zwei Teilchen in einer Yukawa-Wechselwirkung. Das Matrixelement ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ der S-Matrix ist dann in nichtrelativistischer Näherung

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {4m_{\psi }^{2}g^{2}}{{\vec {q}}^{2}+m_{\phi }^{2}}}}$

wobei ${\displaystyle {\vec {q}}}$ den übertragenen Impuls bezeichnet und der Faktor ${\displaystyle 4m_{\psi }^{2}}$ ein Relikt aus der Normierung ist. Dann lautet das Potential im Impulsraum nach Fermis Goldener Regel

${\displaystyle {\tilde {V}}({\vec {q}})={\frac {-g^{2}}{{\vec {q}}^{2}+m_{\phi }^{2}}}}$

und n​ach einer Fouriertransformation i​n den Ortsraum

${\displaystyle V(r)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {q}}}{(2\pi )^{3}}}{\tilde {V}}({\vec {q}})=-{\frac {g^{2}}{4\pi r}}e^{-m_{\phi }r}}$

Literatur

• Michael E. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press, Boulder 1995, ISBN 0-201-50397-2, S. 116–123.

Einzelnachweise

1. Hideki Yukawa: On the Interaction of Elementary Particles. In: Progress of Theoretical Physics. Band 17, Nr. 48, 1935, S. 1–9.