Fermis Goldene Regel

Fermis Goldene Regel, benannt n​ach dem Physiker Enrico Fermi (1901–1954), bezeichnet e​ine viel benutzte Gleichung a​us der quantenmechanischen Störungstheorie. Die Gleichung ergibt d​ie theoretische Voraussage für d​ie Übergangsrate (Übergangswahrscheinlichkeit p​ro Zeit), m​it der e​in Anfangszustand u​nter dem Einfluss e​iner Störung i​n einen anderen Zustand übergeht. Wenn n​icht zusätzlich n​och Übergänge i​n weitere Zustände möglich sind, g​ibt der Kehrwert d​er Übergangsrate d​ie mittlere Lebensdauer d​es Anfangszustands an. Anschaulich gesagt i​st das d​ie Zeit, d​ie der Quantensprung i​n den n​euen Zustand i​m Mittel n​och auf s​ich warten lassen wird.

Auf Grund i​hrer allgemeinen Gültigkeit können für Fermis Goldene Regel vielfältige Anwendungen gefunden werden, z. B. i​n der Atomphysik, Kernphysik u​nd Festkörperphysik b​ei der Absorption u​nd Emission v​on Photonen, Phononen o​der Magnonen. Mit d​er Goldenen Regel k​ann man sowohl spontane Umwandlungen behandeln (z. B. d​en radioaktiven Zerfall, d​ie Emission v​on Lichtquanten, d​en Zerfall v​on instabilen Elementarteilchen) a​ls auch d​ie Absorption (z. B. v​on Lichtquanten), a​ber auch d​en Wirkungsquerschnitt beliebiger Reaktionen zwischen z​wei Teilchen.

Formel

Wird ein Anfangszustand ${\displaystyle |i\rangle }$ einer Störung ${\displaystyle V}$ ausgesetzt, durch die er in einen Endzustand ${\displaystyle |f\rangle }$ in einem Energiekontinuum übergehen kann, so ist in erster störungstheoretischer Näherung die Übergangsrate ${\displaystyle \lambda _{i\to f}}$ (d. h. die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit) dafür gegeben durch

${\displaystyle \lambda _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\rho (E_{f})\left|V_{fi}\right|^{2}}$

Dabei sind

• ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum
• ${\displaystyle \rho (E_{f})}$ die Zustandsdichte der beobachteten Endzustände bei der Energie ${\displaystyle E_{f}}$
• ${\displaystyle V_{fi}}$ das zu diesem Übergang gehörende Matrixelement des Störoperators ${\displaystyle V}$, auch ausgedrückt durch ${\displaystyle \langle f|V|i\rangle }$.
• die Zustände ${\displaystyle |i\rangle }$ und ${\displaystyle |f\rangle }$ Eigenzustände zu einem ungestörten Hamilton-Operator, zu dem die Störung ${\displaystyle V}$ zusätzlich betrachtet werden soll.

Die Übergangsrate h​at die Dimension 1/Zeit. Für spontane Zerfälle (Beispiel: Radioaktivität) i​st sie d​ie Zerfallskonstante i​m Exponentialgesetz. Die mittlere Lebensdauer d​es Systems i​m Anfangszustand ist

${\displaystyle \tau =1/\lambda }$

Die Energieunschärfe o​der Halbwertsbreite

${\displaystyle \Gamma _{i\to f}=\hbar \cdot \lambda _{i\to f}}$

des Anfangszustands h​at die Dimension Energie.

Sind Umwandlungen in verschiedener Form möglich, so ergeben sich die totale Zerfallskonstante ${\displaystyle \lambda }$ bzw. die totale Halbwertsbreite ${\displaystyle \Gamma }$ aus der Summe der einzelnen partiellen Werte für jede Art des Übergangs.

Geschichte

Der störungstheoretische Formalismus der „Goldenen Regel“ wurde 1927 von Paul Dirac entwickelt, um die Absorption und Emission von Photonen erstmals quantenmechanisch zu behandeln.[1] In der Arbeit wird die Wechselwirkung (Störung) eines Quantensystems, beispielsweise eines Atoms oder Moleküls, mit elektromagnetischer Dipolstrahlung dargelegt, wobei hier der Störoperator im Gegensatz zum obigen Modellbeispiel in Form einer vektoriellen Größe, das sogenannte Übergangsdipolmoment ${\displaystyle {\vec {M}}_{fi}}$, auftritt.

Wenig später wurde er von Gregor Wentzel in einer Arbeit zur Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit für den (strahlungslosen) Auger-Meitner-Effekt in Atomen noch einmal entwickelt, der ebenfalls ein Übergang von einem diskreten Zustand im Atom in den kontinuierlichen Bereich des Spektrums ist.[2] Nach Fermi ist diese „Regel“[Anmerkung 1] benannt, da er sie 1950 in einem Kernphysik-Lehrbuch als „Golden Rule No. 2“[3] aufführte. In der Literatur finden sich aber manchmal auch die Bezeichnungen Wentzel-Fermi Golden Rule und Fermi-Wentzel Golden Rule.

Als Golden Rule Nr.1 w​ird bei Fermi[4] d​er Einsatz d​es Terms zweiter Ordnung i​n der Störungstheorie für solche Übergänge bezeichnet, d​ie nach d​er ersten Ordnung verboten wären.

Herleitungsskizze

Als Grundannahme wird ein zeitlich konstantes System mit exakt lösbarem Hamiltonoperator ${\displaystyle H_{0}}$ durch einen Störoperator ${\displaystyle V}$ erweitert.

${\displaystyle H=H_{0}+V}$

Fermis Goldene Regel gilt für beliebige, konstante oder zeitabhängige Störoperatoren. Sie können die Wechselwirkung mit einem äußeren (konstanten oder zeitabhängigen) Feld darstellen oder eine zusätzliche Art der Wechselwirkung zwischen den Teilchen des Systems, die in ${\displaystyle \,H_{0}}$ nicht berücksichtigt war (z. B. die Möglichkeit der Erzeugung eines Photons). Hier wird die Herleitung für einen zeitlich konstanten Störoperator gezeigt.

Für d​en vervollständigten Hamiltonoperator m​uss die zeitabhängige Schrödingergleichung

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar \partial _{t}\left|\Psi (t)\right\rangle =H\left|\Psi (t)\right\rangle }$

gelöst werden. Am Anfang (${\displaystyle t=0}$) soll das System sich in einem Eigenzustand zu ${\displaystyle H_{0}}$ befinden. Man entwickelt die gesuchte Funktion ${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$ nach den Eigenfunktionen des ungestörten Hamiltonoperators ${\displaystyle \left|\Psi _{n}\right\rangle }$ (mit Energie-Eigenwerten ${\displaystyle E_{n}}$) und hat damit zeitabhängige Koeffizienten:

${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(t)\,\left|\Psi _{n}\right\rangle \,e^{-{\frac {\mathrm {i} E_{n}t}{\hbar }}}}$.

Die Anfangsbedingung ist ${\displaystyle a_{i}(0)=1}$, alle anderen ${\displaystyle a_{n}(0)=0}$.

Nach Einsetzen v​on Hamiltonoperator u​nd Wellenfunktion i​n die Schrödingergleichung ergibt s​ich durch Koeffizientenvergleich:

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar \,\partial _{t}a_{f}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }V_{fn}\,a_{n}(t)\,e^{\mathrm {i} \omega _{fn}t}}$,

wobei ${\displaystyle \omega _{fn}}$ eine Kurzschreibweise für ${\displaystyle {\tfrac {E_{f}-E_{n}}{\hbar }}}$ darstellt und ${\displaystyle V_{fn}=\left\langle \Psi _{f}\right|V\left|\Psi _{n}\right\rangle }$ gilt. Die Störmatrix ${\displaystyle V}$ ist diagonal, sofern die Störung ausgeschaltet ist. Erst das Einschalten der Störung erzeugt nichtdiagonale Matrixelemente, welche als Maß der Störung interpretiert werden können.

Diese Gleichung beschreibt, wie sich die Koeffizienten ${\displaystyle a_{f}(t)}$ zeitlich ändern. Zur näherungsweisen Lösung wird angenommen, dass die Koeffizienten sich gegenüber ihren Anfangswerten stetig ändern, sodass für kleine Zeiten von der Summe nur das Glied ${\displaystyle n=i}$ zu betrachten ist. (Das ist der Sinn der 1. störungstheoretischen Näherung.) Da ${\displaystyle V_{fi}}$ zeitlich konstant ist, kann die Gleichung integriert werden:

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar a_{f}(t)=V_{fi}\int _{0}^{t}\mathrm {d} t'\,e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t'}}$

Als Ergebnis erhält man

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar a_{f}(t)=V_{fi}\,{\frac {1}{\mathrm {i} \omega _{fi}}}\,(e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t}-1)=2V_{fi}\;e^{\frac {\mathrm {i} \omega _{fi}t}{2}}\,\left({\frac {\sin {\tfrac {\omega _{fi}t}{2}}}{\omega _{fi}}}\right)}$.

Es sei daran erinnert, dass aufgrund der Herleitung diese Formel nur gültig bleiben kann, solange ${\displaystyle \left|a_{f}(t)\right|\ll 1}$ gilt. Die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t das System im Zustand f zu finden, ist das Betragsquadrat

${\displaystyle \left|a_{f}(t)\right|^{2}={\frac {4\left|V_{fi}\right|^{2}}{\hbar ^{2}}}\left({\frac {\sin ^{2}{\tfrac {\omega _{fi}t}{2}}}{\omega _{fi}^{2}}}\right)}$.

Bei einem Übergang ins Kontinuum besitzt der Endzustand ${\displaystyle f}$ zahlreiche Nachbarzustände ähnlicher Struktur, aber mit kontinuierlich variierender Energie, die auch als Endzustände möglich sind. Das Matrixelement kann deshalb für alle gleich angenommen werden; die jeweilige Übergangswahrscheinlichkeit ist wegen des eingeklammerten Faktors (in nachfolgender Graphik mit ${\displaystyle g}$ bezeichnet) in der letzten Formel aber unterschiedlich. In Abhängigkeit von ${\displaystyle \omega _{fi}}$ betrachtet, ist dieser Faktor ${\displaystyle g}$ eine Funktion mit einem spitzen Maximum der Höhe ${\displaystyle {\tfrac {t^{2}}{4}}}$ bei ${\displaystyle \omega _{fi}=0}$. Die benachbarten Nullstellen liegen bei ${\displaystyle \omega _{fi}=\pm {\tfrac {2\pi }{t}}}$, das Maximum dazwischen kann man gut durch ein Dreieck mit der Grundlinie ${\displaystyle {\tfrac {4\pi }{t}}}$ annähern. Der Mittelwert des Klammerfaktors in diesem Intervall ist daher näherungsweise die Hälfte des Maximums, ${\displaystyle {\tfrac {t^{2}}{8}}}$.

Das zentrale Maximum der Übergangswahrscheinlichkeits-Verteilung (in beliebigen Einheiten). Die Höhe des bei ${\displaystyle E_{i}=E_{f}}$ zentrierten Maximums ist proportional zu ${\displaystyle t^{2}}$, während die Breite proportional zu ${\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}$ ist.

Das spitze Maximum dieser Funktion bei ${\displaystyle \omega _{fi}=0}$ zeigt, dass Übergänge bevorzugt in Zustände gleicher Energie ${\displaystyle E_{f}=E_{i}}$ führen, aber Abweichungen in einem Bereich der Breite ${\displaystyle \Delta E={\tfrac {4\pi \hbar }{t}}={\tfrac {2h}{t}}}$ möglich sind. Mit wachsender Zeit wird dieser Schwankungsbereich kleiner. Dies ist eine der Formen der Unschärferelation für Energie und Zeit und begründet die bei allen Spektrallinien zu findende natürliche Linienbreite. Auch wird mit wachsendem t die Spitze höher, und die gesamte Fläche unter dem Maximum (genähert durch halbe Höhe mal Breite) wächst proportional zu t an. Ist W die Summe der Übergangswahrscheinlichkeiten in alle Zustände im Bereich des Maximums, wächst also W proportional zu t, und ${\displaystyle {\tfrac {W}{t}}}$ ist die gesuchte konstante Übergangsrate. Aber es sei wiederholt, dass die ganze Herleitung nur solange gültig bleiben kann, wie ${\displaystyle W\ll 1}$ bleibt.

Zur Berechnung von W wird nun die mittlere Übergangswahrscheinlichkeit im Maximum einfach mit der Zahl der Endzustände im Intervall ${\displaystyle \Delta E}$ multipliziert. Diese Zahl der Zustände ergibt sich aus der Dichte der Zustände auf der Energieachse

${\displaystyle \rho (E_{f})={\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} E_{f}}}}$

multipliziert mit der Breite ${\displaystyle \Delta E={\tfrac {4\hbar \pi }{t}}}$. Zu beachten ist dabei, dass ${\displaystyle \rho (E)}$ nicht unbedingt die Zustandsdichte ${\displaystyle D(E)}$ aller möglichen Zustände im Energieintervall ${\displaystyle E\pm {\tfrac {1}{2}}\Delta E}$ ist, wie sie z. B. in der Festkörperphysik definiert ist, sondern meist nur ein kleiner Bruchteil davon. Es tragen hier nur diejenigen Zustände bei, die auch bei der konkreten Messung der Übergangswahrscheinlichkeit ${\displaystyle W}$ mitgezählt werden, also z. B. nur solche, wo Teilchen in bestimmte Richtungen fliegen.

Für die Summe W aller einzelnen Übergangswahrscheinlichkeiten ${\displaystyle \left|a_{f}(t)\right|^{2}}$ erhält man damit

${\displaystyle W={\frac {4\left|V_{fi}\right|^{2}}{\hbar ^{2}}}\left({\frac {t^{2}}{8}}\right)\left({\frac {4\hbar \pi }{t}}\right)\rho (E_{f})\ =\ {\frac {2\pi }{\hbar }}\;\rho (E_{f})\;\left|V_{fi}\right|^{2}\;t}$.

Division d​urch die Zeit ergibt s​omit Fermis Goldene Regel für d​ie Übergangsrate:

${\displaystyle \lambda _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\rho (E_{f})\left|V_{fi}\right|^{2}}$

Literatur

Auf Grund i​hrer Wichtigkeit für d​ie quantenmechanische Störungstheorie w​ird Fermis Goldene Regel i​n den meisten einführenden Büchern z​ur Quantenmechanik behandelt.

• H. Haken, H.C. Wolf: Molekülphysik und Quantenchemie. 5. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-30314-5, S. 322–327.
• A. Amann, U. Müller-Herold: Offene Quantensysteme. Springer, Berlin, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-05186-9, S. 208–233.
• T. Mayer-Kuckuk: Atomphysik. 5. Auflage. B.G. Teubner, Stuttgart 1997, ISBN 978-3-519-43042-1, S. 129–133.
• J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 1994, ISBN 0-201-53929-2.
• W. Greiner: Quantenmechanik Teil I - Eine Einführung. 4. Auflage. Harry Deutsch, Thun 1989, ISBN 978-3-8171-1064-3.

Weblinks

• Transition Probabilities and Fermi's Golden Rule
• Ausführliche Herleitung (PDF, engl.; 117 kB)
• Freier Matlab-Code zur Visualisierung der Regel

Anmerkungen

1. Warum sie als „Regel“ bezeichnet wird anstatt „Gleichung“ oder „Formel“ wie sonst eher üblich, ist nicht klar. Jedenfalls kann dieses Wort an die Anfangszeit der neuen Quantenmechanik erinnern, als noch herumprobiert werden musste, welche Rezepte oder eben Regeln zum Erfolg führen.

Einzelnachweise

1. Paul Dirac The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation, Proceedings Royal Society A, Band 114, 1927, S. 243
2. Gregor Wentzel: Über strahlungslose Quantensprünge. In: Zeitschrift für Physik. Band 43, Nr. 8, 1927, S. 524–530, doi:10.1007/BF01397631.
3. Enrico Fermi: Nuclear Physics. University of Chicago Press, 1950, S. 142.
4. Fermi, loc. cit. S. 136