Wigner-Eckart-Theorem

Das Wigner-Eckart-Theorem (nach Eugene Paul Wigner u​nd Carl Henry Eckart) i​st ein Hilfsmittel für d​ie Berechnung d​er Matrixelemente e​ines Tensoroperators, w​enn dessen Symmetrieeigenschaften bekannt sind.

Für d​ie definierenden Transformationseigenschaften e​ines Tensoroperators gilt:

${\displaystyle U^{\dagger }T_{q}^{(k)}U=\sum _{q'=-k}^{k}D_{qq'}^{(k)*}T_{q'}^{(k)}}$

wobei

• ${\displaystyle U}$ die unitäre Gruppentransformationsmatrix und
• ${\displaystyle D_{qq'}^{(k)}}$ eine irreduzible Darstellung dieser Gruppe in der Basis ${\displaystyle |\alpha ,jm\rangle }$ ist.

Theorem: Das Matrixelement e​ines sphärischen Tensoroperators, ausgedrückt i​n den Eigenzuständen d​es Drehimpulsoperators, erfüllt folgende Gleichung:

${\displaystyle \langle \alpha ',j'm'|T_{q}^{(k)}|\alpha ,jm\rangle =\langle jm;kq|j'm'\rangle \langle \alpha 'j'\|T^{(k)}\|\alpha j\rangle }$

Hierbei ist

• ${\displaystyle T^{(k)}}$ ein Tensor des Rangs k
• j der Gesamtdrehimpuls
• m die zugehörige magnetische Quantenzahl
• ${\displaystyle \alpha }$ alle weiteren zur Beschreibung des Systems nötigen Quantenzahlen des Zustandes.

Für Rotationssymmetrie sind ${\displaystyle \langle jm;kq|j'm'\rangle }$ die Clebsch-Gordan-Koeffizienten zur Addition von zwei Drehimpulsen ${\displaystyle j}$ und ${\displaystyle k}$ und den jeweiligen z-Komponenten ${\displaystyle m}$ bzw. ${\displaystyle q}$ zum Drehimpuls ${\displaystyle j'}$ mit z-Komponente ${\displaystyle m'}$.

Der von m und m‘ sowie q unabhängige Faktor wird als reduziertes Matrixelement bezeichnet, gekennzeichnet durch die 2 Striche beiderseits von ${\displaystyle T^{(k)}}$. Darin besteht auch der Vorzug, denn dieses von m und m‘ unabhängige Matrixelement wird nur ein Mal berechnet, ist dann für alle anderen Matrixelemente gleich und ermöglicht somit eine einfache Berechnung beliebiger Matrixelemente.

Beweis des Theorems (Drehgruppe)

Das Wigner-Eckart-Theorem hängt m​it dem Lemma v​on Schur zusammen. Wenn m​an dies ausnutzt, s​ind längere Rechnungen für d​en Beweis n​icht erforderlich.

Um d​ie Clebsch-Gordan-Koeffizienten i​ns Spiel z​u bringen, betrachtet m​an den folgenden, n​ur für diesen Zweck konstruierten Operator[1]:

${\displaystyle W=\sum _{np}T_{p}^{(k)}|\alpha jn\rangle \langle jn;kp|}$

Er transformiert Zustände mit zwei Drehimpulsen (${\displaystyle j}$ und ${\displaystyle k}$) in Zustände mit einem einzelnen Drehimpuls, auf welche Tensoroperatoren wirken. Im Zielraum sind Drehungen durch einen unitären Operator ${\displaystyle U_{1}}$ dargestellt, im Urbildraum durch einen unitären Operator ${\displaystyle U_{2}}$. Die wesentliche Eigenschaft von ${\displaystyle W}$ ist das Vertauschen mit Drehungen bzw. die Invarianz unter Drehungen:

${\displaystyle U_{1}W=WU_{2}\,\!}$

Dies beruht a​uf dem gleichartigen Verhalten v​on Tensoroperatoren u​nd Drehimpulszuständen u​nter Drehungen. Konkret s​ieht man d​ie Invarianz a​m einfachsten, i​ndem man d​en Ausdruck

${\displaystyle \sum _{np}\sum _{n'p'}T_{p}^{(k)}|\alpha jn\rangle D_{pp'}^{(k)}D_{nn'}^{(j)}\langle jn';kp'|}$

einmal durch Summation über ${\displaystyle np\,\!}$ auswertet, was ${\displaystyle U_{1}W\,\!}$ ergibt, und einmal durch Summation über ${\displaystyle n'p'\,\!}$, was ${\displaystyle WU_{2}\,\!}$ ergibt. Dabei wird benutzt, dass auch die Drehmatrizen unitär sind.

Wegen der Drehinvarianz von ${\displaystyle W}$ werden Teilräume, die unter ${\displaystyle U_{2}}$ irreduzibel sind, in Teilräume transformiert, die unter ${\displaystyle U_{1}}$ irreduzibel sind. Bei der Drehgruppe sind diese Teilräume durch eine Drehimpulsquantenzahl ${\displaystyle J}$ charakterisiert. Nach dem Schurschen Lemma gilt nun:

• Die Teile von ${\displaystyle W}$, die zwischen verschiedenen ${\displaystyle J}$ (inäquivalenten irreduziblen Darstellungen) vermitteln, sind null.
• Die Teile von ${\displaystyle W}$, die zwischen gleichen ${\displaystyle J}$ (äquivalenten irreduziblen Darstellungen mit gleichen Darstellungsmatrizen) vermitteln, sind Vielfache der Eins-Abbildung.

Dass die Darstellungsmatrizen für gleiche Drehimpulse tatsächlich immer gleich sind, beruht auf der Verwendung der Standard-Basisvektoren ${\displaystyle |jm\rangle }$. Der hier gegebene Beweis gilt deswegen nur für die Drehgruppe.

Wenn das jeweilige Vielfache mit einem Faktor ${\displaystyle \lambda \,\!}$ bezeichnet wird, der von den verknüpften Teilräumen abhängig ist, hat ${\displaystyle W}$ nach dem Schurschen Lemma somit folgende Form:

${\displaystyle W=\sum _{\alpha 'J}\sum _{M}\lambda _{\alpha jk\alpha 'J}|\alpha 'JM\rangle \langle JM|}$

Die Summe über ${\displaystyle M}$ stellt die Eins-Abbildung zwischen zwei irreduziblen Teilräumen dar. Im Bra-Vektor fehlt der Entartungsindex, weil es bei Drehimpulskopplung (im Urbildraum von ${\displaystyle W}$) keine Entartung gibt. Die Indizes ${\displaystyle \alpha jk}$ bringen zum Ausdruck, dass die gesamte Konstruktion des Operators ${\displaystyle W}$ von ihnen abhängt.

Um den Beweis abzuschließen, bildet man nun das Matrixelement ${\displaystyle \langle \alpha 'j'm'|W|jm;kq\rangle }$ mit den beiden Ausdrücken für ${\displaystyle W}$, nutzt die Orthonormalität der Basisvektoren aus und identifiziert das jeweilige ${\displaystyle \lambda \,\!}$ mit ${\displaystyle \langle \alpha 'j'\|T^{(k)}\|\alpha j\rangle }$.

Einzelnachweise

1. Albert Messiah: Quantenmechanik. Band 2. De Gruyter, 1985, Abschnitt 13.6.3

Literatur

• C. Eckart: The Application of Group Theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems. In: Rev. Mod. Phys. 2, 1930, S. 305–380.
• J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 1994, S. 239–240.
• E. P. Wigner: Einige Folgerungen aus der Schrödingerschen Theorie für die Termstrukturen. In: Z. Physik 43, 1927, S. 624–652.