Weil-Algebra

In d​er Mathematik i​st die Weil-Algebra (ursprünglich v​on Henri Cartan eingeführt u​nd nach André Weil benannt) e​in Hilfsmittel b​ei der Berechnung charakteristischer Klassen.

Definition

Sei eine Lie-Algebra. Die Weil-Algebra ist die graduierte Algebra

,

wobei der duale Vektorraum, die Polynomalgebra und die Graßmann-Algebra ist.

Explizite Definition des Differentials

Sei eine Basis von . Seien die Strukturkonstanten, also . Die Weil-Algebra hat Erzeuger vom Grad 1 und vom Grad 2. Dann ist das Differential definiert durch

.

Die Kohomologie von ist trivial (außer in Grad 0).

Konstruktion charakteristischer Klassen

Ein Zusammenhang auf einem -Prinzipalbündel induziert einen Homomorphismus

,

der s​ich zu e​inem Homomorphismus differentieller graduierter Algebren

fortsetzen lässt.[1] Die -invarianten Elemente von werden auf (das Urbild von) abgebildet und definieren charakteristische Klassen in . (Diese Konstruktion wird als Chern-Weil-Homomorphismus bezeichnet.)

Relative Weil-Algebra

Sei eine Lie-Gruppe und eine maximal kompakte Untergruppe mit Lie-Algebra . Die relative Weil-Algebra ist definiert als

.

Sei der klassifizierende Raum und das universelle Bündel der Lie-Gruppe . Man hat kanonische Isomorphismen der Kohomologiegruppen

mit dem Ring der invarianten Polynome.

Die relative Weil-Algebra w​ird bei d​er Berechnung sekundärer charakteristischer Klassen v​on lokal symmetrischen Räumen verwendet.

Literatur

  • W. Greub, S. Halperin, R. Vanstone, "Connections, curvature, and cohomology. Volume III: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces." Pure and Applied Mathematics, Vol. 47-III. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1976 (Chapter VI).
  • H. Cartan, "Cohomologie réelle d'un espace fibré principal differentiable", Sem. H. Cartan 1949/50, Exp. 19–20 (1950).
  • H. Cartan, "Notions d’algébre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés ou opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, (1950), pp. 15–27.
  • J.L. Dupont, F.W. Kamber, "On a generalization of Cheeger–Chern–Simons classes" Illinois J. Math. 34 (1990), no. 2, 221–255.
  • F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Foliated bundles and characteristic classes", Lecture Notes in Mathematics, 493, Springer (1975).
  • F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Semi-simplicial Weil algebras and characteristic classes" Tôhoku Math. J. 30 (1978) pp. 373–422 (pdf).
  • J.L. Dupont, F.W. Kamber, "Cheeger-Chern-Simons classes of transversally symmetric foliations: dependence relations and eta-invariants." Math. Ann. 295 (1993), no. 3, 449–468, doi:10.1007/BF01444896.

Einzelnachweise

  1. Theorem 5.18 in: J.I. Burgos Gil: "The regulators of Beilinson and Borel." CRM Monograph Series, 15. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. ISBN 0-8218-2630-1
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