Strukturkonstante

Strukturkonstanten enthalten i​n der Mathematik d​ie gesamten Informationen e​iner (endlichdimensionalen) Lie-Algebra u​nd somit insbesondere a​lle lokalen Informationen j​eder ihr zugeordneten Lie-Gruppe.

Definition

Sei eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der Lie-Klammer und sei eine Vektorraumbasis dieser Lie-Algebra. Da in Vektorräumen jedes Element als Linearkombination bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle die Zerlegung

der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die Konstanten (d. h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra.

Eigenschaften

  • Antisymmetrie
Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer antisymmetrisch in den unteren Indizes;
Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes .
  • Jacobi-Identität
Aufgrund der Jacobi-Identität für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:
  • Tensorstruktur
Die Strukturkonstanten sind -Tensoren. Das heißt, bei einem Basiswechsel gilt:

Beispiel

Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie-Algebra in der Basis der Pauli-Matrizen gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und es gilt

mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol .

Literatur

  • Manfred Böhm: Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-20378-7, S. 179–180.
  • Hans Samelson: Notes on Lie Algebras. Springer, New York 1990, ISBN 978-0-387-97264-0, S. 5.
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