WKB-Näherung

Die semiklassische WKB-Näherung aus der Quantenmechanik (benannt nach Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Léon Brillouin) liefert eine Näherung der Lösung der eindimensionalen, stationären Schrödingergleichung. Die Näherung basiert auf der Annahme, dass sich das Potential ${\displaystyle V(x)}$ nur 'langsam' mit der Position, d. h. über die Ausdehnung einer Wellenlänge, ändert und sich daher eine Lösung aus dem konstanten Potential ${\displaystyle V(x)=V_{0}}$ finden lässt.

Unter dieser Voraussetzung lautet d​ie genäherte Lösung d​er Schrödingergleichung:

${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {\text{const}}{2m[E-V(x)]}}\right)^{1/4}\exp \left(\pm {\frac {i}{\hbar }}\int \mathrm {d} x'{\sqrt {2m(E-V(x'))}}\right)}$

Die beiden Vorzeichen stehen für z​wei unabhängige Lösungen.

Geschichte

Die Näherung w​urde 1926 f​ast gleichzeitig u​nd unabhängig voneinander v​on den Physikern Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers u​nd Léon Brillouin i​m Rahmen d​er Quantenmechanik publiziert, d​eren Initialen i​hr den Namen gaben. Sie findet s​ich aber a​uch schon vorher i​n den Arbeiten verschiedener Mathematiker u​nd Physiker w​ie Francesco Carlini (1817, i​n der Himmelsmechanik), George Green (1837), Joseph Liouville (1837), John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1912), Richard Gans (1915), Harold Jeffreys[1] (1923).[2][3] Sie w​ird deshalb manchmal a​uch WKBJ (zusätzlich n​ach Jeffreys) o​der Liouville-Green-Methode genannt. Auch Werner Heisenberg benutzte d​as Verfahren 1924 i​n seiner Dissertation über Hydrodynamik.[4]

Herleitung

Aus d​er eindimensionalen stationären Schrödinger-Gleichung

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

ergibt sich bei konstantem Potential ${\displaystyle V(x)=V_{0}}$ als Lösung die ebene Welle

${\displaystyle \psi (x)=A\exp \left(\pm {\frac {i}{\hbar }}p_{0}x\right)}$

mit ${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m(E-V_{0})}}}$. Bei langsamer Änderung des Potentials, also einem Potential, das in der Größenordnung der deBroglie-Wellenlänge als konstant angesehen werden kann, kann man ${\displaystyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}}$ annehmen und daraus einen zum Problem mit konstantem Potential analogen Lösungsansatz folgendermaßen wählen.

${\displaystyle \psi (x)=A\exp \left({\frac {i}{\hbar }}S(x)\right)}$

Eingesetzt i​n die Schrödinger-Gleichung erhält man

${\displaystyle -{\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {d^{2}S(x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2m}}\left[{\frac {dS(x)}{dx}}\right]^{2}+V(x)-E=0}$

Soweit wurde keine Näherung gemacht. Wir können nun ${\displaystyle S(x)}$ folgendermaßen in Potenzen von ${\displaystyle \hbar }$ entwickeln

${\displaystyle S(x)=S_{0}(x)+\hbar S_{1}(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{2}}S_{2}(x)+\dots }$

Das s​etzt man i​n die Schrödingergleichung ein:

${\displaystyle {-{\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(S_{0}(x)+\hbar S_{1}(x)+\dots \right)+{\frac {1}{2m}}\left[{\frac {d}{dx}}\left(S_{0}(x)+\hbar S_{1}(x)+\dots \right)\right]^{2}+V(x)-E=0}}$

Nun kann man diese Terme bis zur gewünschten Ordnung berechnen und nach der Potenz von ${\displaystyle \hbar }$ sammeln.

Jeder zu einer Potenz von ${\displaystyle \hbar }$ zugehörige Term muss dann einzeln verschwinden.

Für d​ie zweite Ordnung lautet d​ie Schrödingergleichung:

${\displaystyle -{\frac {i\hbar }{2m}}\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{0}(x)+\hbar {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{1}(x)\right]+{\frac {1}{2m}}\left[{\frac {d}{dx}}S_{0}(x)+\hbar {\frac {d}{dx}}S_{1}(x)\right]^{2}+V(x)-E=0}$

${\displaystyle {\Leftrightarrow \hbar ^{0}\left[{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{0}(x)}{dx}}\right)^{2}+V(x)-E\right]+\hbar ^{1}\left[-{\frac {i}{2m}}{\frac {d^{2}S_{0}(x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{m}}{\frac {dS_{0}(x)}{dx}}{\frac {dS_{1}(x)}{dx}}\right]+\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{1}(x)}{dx}}\right)^{2}-{\frac {i}{2m}}{\frac {d^{2}S_{1}(x)}{dx^{2}}}\right]=0}}$

Für die Differentialgleichung im Glied nullter Ordnung in ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left[{\frac {dS_{0}(x)}{dx}}\right]^{2}+V(x)-E=0}$

findet m​an eine Lösung durch

${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int {\sqrt {2m(E-V(x'))}}dx'}$

und e​s folgt

${\displaystyle \psi (x)=A\exp \left(\pm {\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m(E-V(x'))}}dx'\right).}$

Dieses Ergebnis beschreibt Lösungen einer eindimensionale Schrödingergleichung im Grenzfall ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$, welche in der Punktmechanik mit der Hamilton-Jacobi-Gleichung ein gleichwertiges Gegenstück besitzt.

Die Taylorreihenentwicklung der Exponentialfunktion zeigt jedoch die mathematische Inkonsistenz dieser einfachsten Näherung im Rahmen der klassischen Konvergenzkriterien, da jeder auftretende Summand aufgrund der Division durch ${\displaystyle \hbar =0}$ divergiert und damit auch die Summe ohne passende Regularisierung nicht wohldefiniert ist. Außerdem ist in dieser Näherung die Beschreibung des Tunnelns ${\displaystyle (V(x)>E)}$ problematisch, da einerseits zwar eine Näherungslösung für eine Schrödingergleichung konstruiert werden soll, für deren Lösung die Gültigkeit des Bornschen Wahrscheinlichkeitspostulats angenommen wird, andererseits aber der Limes ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$ ein klassisches Hamiltonsches Wirkungsprinzip unterstellt, welches unvereinbar mit intrinsisch quantenmechanischen Tunnelprozessen ist.

Eine zusätzliche Betrachtung erster Ordnung der Wirkungsfunktion in ${\displaystyle \hbar }$ fixiert die Konstante A und komplettiert die semiklassische WKB-Näherung. Eine genaue Rechnung zeigt, dass diese Näherung nur dann gut ist, wenn der Impuls ${\displaystyle p_{0}=\hbar /\lambda }$ der Wellenfunktion wesentlich größer ist, als die örtliche Variation des Potenzials (siehe oben). Dies zeigt trotz der vollzogenen Wirkungsdiskretisierung, aufgelöst bis zur ersten Ordnung, die Nähe des Ansatzes zur klassischen strahlenoptischen Näherung, die in der geometrischen Optik durch das Eikonal und in der Hamilton-Jacobi-Theorie Anwendung findet.

Folgerungen für die Transmission durch eine Barriere

Die WKB-Approximation w​ird benutzt, u​m nichtrechteckige Potentialbarrieren z​u nähern. Dazu w​ird die Barriere i​n viele dünne rechteckige Teilbarrieren zerlegt.

Für die Tunnelwahrscheinlichkeit ${\displaystyle \left|T\right|^{2}}$ durch die Barriere werden die Tunnelwahrscheinlichkeiten der einzelnen Segmente multipliziert. Damit ergibt sich

${\displaystyle \ln \left|T\right|^{2}\approx -2\!\int \limits _{\text{Barriere}}\!\kappa (x)\,\mathrm {d} x,}$

wobei

${\displaystyle \kappa (x)={\sqrt {\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}}.}$

Wie im vorherigen Abschnitt erläutert, muss die Barriere im Vergleich zur Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ der Materiewelle stückweise konstant sein, um die Näherung zu rechtfertigen.

Für hinreichend große Wellenlängen, also z. B. nahe der Umkehrpunkte klassischer Teilchenbewegungen mit ${\displaystyle p\propto 1/\lambda \rightarrow 0}$, kann dies nicht mehr der Fall sein. In diesen Regionen muss ein stetiger Anschluss durch exakte Lösungen, die Airy-Funktionen, erfolgen.

Literatur

• Brillouin, Léon: La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives. In: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. 183, 1926, S. 24–26.
• Hendrik Anthony Kramers: Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung. In: Zeitschrift für Physik. Ausgabe 39, Nr. 10. Springer, 1926, ISSN 0939-7922, S. 828–840, doi:10.1007/BF01451751.
• Wentzel, Gregor: Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. In: Zeitschrift für Physik. 38, Nr. 6–7, 1926, S. 518–529. bibcode:1926ZPhy...38..518W. doi:10.1007/BF01397171.
• Die WKB-Näherung wird in den meisten Lehrbüchern der Quantenmechanik behandelt, z. B. Nolting Grundkurs Theoretische Physik 5/2 – Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen, Springer Verlag 2001, Kapitel 7.4 (Quasiklassische Näherung), S. 190ff

Einzelnachweise

1. Jeffreys On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order, Proc. London Math. Soc. 23, 1923, S. 428
2. J. Calvert History of the WKB approximation
3. N. Fröman, P. O. Fröman On the history of the so called WKB method from 1817 to 1926, in J. Bang, J. De Boer Semiclassical descriptions of atomic and nuclear collisions, Amsterdam 1985
4. Walter Blum, Helmut Rechenberg, Hans-Peter Dürr (Herausgeber): Heisenberg, Gesammelte Werke, A/1, Springer Verlag 1985, S. 19, Kommentar von Subrahmanyan Chandrasekhar Hydrodynamic stability and turbulence (1922-1948), Abstract