Ununterscheidbare stochastische Prozesse

Ununterscheidbare stochastische Prozesse, a​uch nicht-unterscheidbare stochastische Prozesse genannt, s​ind in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie gewisse stochastische Prozesse, d​ie nur a​uf sehr „kleinen“ u​nd damit vernachlässigbaren Mengen n​icht miteinander übereinstimmen. Ununterscheidbare Prozesse können s​omit mittels d​es vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsmaßes n​icht voneinander unterschieden werden, d​a die „kleinen“ Mengen d​ie Wahrscheinlichkeit n​ull besitzen. Motivation z​ur Einführung v​on ununterscheidbaren stochastischen Prozessen i​st die Untersuchung d​er Pfade v​on stochastischen Prozessen, beispielsweise a​uf Stetigkeit. Diese Eigenschaften spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Konstruktion v​on komplexeren stochastischen Prozessen w​ie beispielsweise d​er Brownschen Bewegung.

Eng verwandt u​nd unter Umständen identisch m​it der Ununterscheidbarkeit s​ind die Modifikationen e​ines stochastischen Prozesses.

Definition

Gegeben seien zwei stochastische Prozesse ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ mit Zeitmenge ${\displaystyle I}$ und Zustandsraum ${\displaystyle E}$.

Die Prozesse ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ heißen ununterscheidbar, wenn es eine P-Nullmenge ${\displaystyle N\in {\mathcal {A}}}$ gibt, so dass die Menge ${\displaystyle \{X_{t}\neq Y_{t}\}}$ für jedes ${\displaystyle t\in I}$ in ${\displaystyle N}$ enthalten ist.

Eigenschaften

Ununterscheidbarkeit stochastischer Prozesse ist ein stärkerer Begriff als der der Modifikationen eines stochastischen Prozesses. Das bedeutet, dass ununterscheidbare Prozesse ${\displaystyle X,Y}$ stets Modifikationen voneinander sind. Denn nach der Definition ist bei Modifikationen ${\displaystyle N_{t}=\{X_{t}\neq Y_{t}\}}$ für jedes ${\displaystyle t\in I}$ eine Nullmenge. Bei ununterscheidbaren Prozessen gibt es aber eine Nullmenge ${\displaystyle N}$, so dass ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{t\in I}N_{t}\subset N}$. Existiert nun solch eine Nullmenge ${\displaystyle N}$, so müssen die ${\displaystyle N_{t}}$ als Teilmengen einer Nullmenge alle Nullmengen sein. Sind aber umgekehrt ${\displaystyle X,Y}$ Modifikationen voneinander, so folgt im Allgemeinen nicht, dass die Prozesse auch ununterscheidbar sind. Dies liegt daran, dass beliebige Vereinigungen der Nullmengen ${\displaystyle N_{t}}$ im Allgemeinen keine Nullmenge mehr sind.

Ein Beispiel[1] hierfür s​ind die Prozesse

${\displaystyle X_{t}={\begin{cases}1&{\text{ falls }}Z=t\\0&{\text{ falls }}Z\neq t\end{cases}}}$

sowie

${\displaystyle Y_{t}=0}$.

Hierbei sei ${\displaystyle Z}$ eine normalverteilte Zufallsvariable. Dann ist ${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t})=P(Z\neq t)=1}$ für alle ${\displaystyle t\in I}$. Also sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Modifikationen voneinander. Aber es lässt sich zeigen, dass die Prozesse nicht ununterscheidbar sind.

Sind ${\displaystyle X,Y}$ Modifikationen eines Prozesses mit Indexmenge (Zeitmenge) ${\displaystyle I}$, so gilt unter folgenden Voraussetzungen auch der Umkehrschluss, also dass auch Modifikationen eines Prozesses ununterscheidbar sind. Die beiden Begriffe sind also unter den folgenden Umständen äquivalent:

• Die Indexmenge ${\displaystyle I}$ ist abzählbar, denn abzählbare Vereinigungen von Nullmengen sind wieder Nullmengen

oder

• Die Prozesse ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sind fast sicher rechtsseitig stetig und ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ist ein Intervall, das aber durchaus unbeschränkt sein kann.

Einzelnachweise

1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 270.

Weblinks

• A.N. Shiryaev: Stochastic indistinguishability. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 467–470, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, S. 269–270, doi:10.1007/b137972.