Unruh-Effekt

Der Unruh-Effekt ist eine Vorhersage der Quantenfeldtheorie: Ein im Vakuum gleichmäßig beschleunigter Beobachter oder Detektor sieht anstelle des Vakuums ein Gas von Teilchen (Photonen, Elektronen, Positronen, …) mit einer Temperatur ${\displaystyle T}$, die proportional zur Beschleunigung ist,

${\displaystyle T={\frac {\hbar a}{2\pi k_{\mathrm {B} }c}}.}$

Dabei bedeutet

• ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• ${\displaystyle a}$ die Beschleunigung
• ${\displaystyle \pi }$ die Kreiszahl
• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ die Boltzmann-Konstante
• ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit.

Der Effekt w​urde 1976 v​on William Unruh vorhergesagt. Es besteht e​in enger Zusammenhang m​it der Hawking-Strahlung Schwarzer Löcher, a​uf den Unruh bereits i​n seiner Originalarbeit hingewiesen h​at (mit e​in paar Kniffen k​ann man d​ie Hawking-Strahlung a​us dem Unruh-Effekt herleiten[1]).

Die Unruh-Temperatur ${\displaystyle T}$ ist im Allgemeinen außerordentlich klein: Für eine Beschleunigung, die auf einer Strecke von einem Mikrometer relativistische Geschwindigkeit erreicht, liegt die Temperatur knapp unter dem Niveau des kosmischen Mikrowellenhintergrunds.

Der Unruh-Effekt beschreibt physikalische Vorgänge a​us der Sicht e​ines beschleunigten Beobachters o​der Objekts. Z. B. k​ann ein beschleunigter Detektor e​in Teilchen (z. B. e​in Photon) a​us dem Unruh-Strahlungshintergrund absorbieren u​nd demzufolge e​in Signal liefern.

Dieselben Vorgänge (oder d​eren Äquivalente) k​ann man a​ber mit derselben Quantenfeldtheorie a​uch im ruhenden Bezugssystem beschreiben. Aus d​er Sicht e​ines ruhenden Beobachters enthält d​as Vakuum k​eine Teilchen, a​ber der beschleunigte Detektor sendet (aufgrund d​er Beschleunigung) selber Teilchen aus, d​ie dann d​ie Ursache d​es Detektor-Klicks werden.

Ein anderes Beispiel dieser Art betrifft d​ie Stabilität e​ines beschleunigten Protons. Wird e​in Proton beschleunigt, u​nd das genügend rasch, s​o sieht e​s ein v​on Elektronen u​nd Neutrinos bevölkertes Vakuum, d​ie es u​nter Umwandlung i​n ein Neutron absorbieren kann. Das Ergebnis, d​ass beschleunigte Protonen n​icht stabil sind, ergibt s​ich wiederum a​uch aus d​er entsprechenden Rechnung i​m Ruhsystem.

Möglichkeit einer experimentellen Verifikation

Eine experimentelle Verifikation m​it direkter Messung d​er Temperatur i​st wegen d​er erforderlichen großen Beschleunigung aussichtslos.

Der Unruh-Effekt i​st aber verwendbar, u​m Rechnungen für Phänomene i​m ruhenden o​der beschleunigten Koordinatensystem auszuführen. Ein Beispiel i​st die Depolarisierung v​on Elektronen i​n Speicherringen. Bei diesem Analogon z​um Unruh-Effekt stimmen Theorie u​nd Experiment überein.

Hawking-Strahlung, e​in anderes Analogon d​es Unruh-Effeks, wäre beobachtbar, w​enn es schwarze Löcher gäbe, m​it einer Masse kleiner e​twa als d​ie des Zwergplaneten Ceres.

Schematische Herleitung

Der Unruh-Effekt wird oft durch Entwickeln von Quantenfeldern in Eigenmoden in verschiedenen Koordinatensystemen hergeleitet. Gleichsetzen der Felder und Vergleich der Fourier-Moden führt dann über eine Bogoliubov-Transformation zum Ziel. Herleitungen dieser Art kaschieren eher die geometrische Natur des Effekts. Ausgangspunkt einer allgemeineren Herleitung sind die Matrixelemente des Vakuum-Dichteoperators ${\displaystyle \rho _{\Omega }}$ einer Quantenfeldtheorie mit Feldern ${\displaystyle \phi }$,

${\displaystyle \left\langle \phi _{1}\right|\rho _{\Omega }\left|\phi _{0}\right\rangle =\left\langle \phi _{1}\left|\Omega \right.\right\rangle \left\langle \Omega \left|\phi _{0}\right.\right\rangle ={\mathcal {N\lim _{\beta \rightarrow \infty }}}\left\langle \chi \right|e^{-\beta H}\left|\phi _{0}\right\rangle \left\langle \phi _{1}\right|e^{-\beta H}\left|\chi \right\rangle .}$

Hierbei ist ${\displaystyle \left|\Omega \right\rangle }$ der quantenmechanische Grundzustand mit Energie ${\displaystyle 0}$, die Symbole ${\displaystyle \left|\phi _{0}\right\rangle }$, ${\displaystyle \left|\phi _{1}\right\rangle }$ bzw. ${\displaystyle \left|\chi \right\rangle }$ bezeichnen quantenmechanische Zustände mit vorgegebener Konfiguration der Felder. In ${\displaystyle \phi }$-Darstellung ist (schematisch) z. B. ${\displaystyle \left\langle \phi \left|\phi _{0}\right.\right\rangle =\psi _{0}\left(\phi \right)=\Pi _{\mathbf {x} }\delta \left(\phi \left(\mathbf {x} \right)-\phi _{0}\left(\mathbf {x} \right)\right)}$. Der Zustand ${\displaystyle \left|\chi \right\rangle }$ ist beliebig, die einzige Forderung ist ${\displaystyle \left\langle \Omega \left|\chi \right.\right\rangle \neq 0.}$ Das Symbol ${\displaystyle H}$ steht für den Hamiltonoperator des Systems, so dass ${\displaystyle e^{-\beta H}}$ bei großem ${\displaystyle \beta }$ auf den Grundzustand ${\displaystyle \left|\Omega \right\rangle }$ projiziert. Das Symbol ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ist ein Normierungsfaktor.

Auf der rechten Seite der Gleichung für ${\displaystyle \rho _{\Omega }}$ erkennt man die Entwicklung eines generischen Zustands ${\displaystyle \left|\chi \right\rangle }$ in imaginärer Zeit ${\displaystyle \tau }$ von ${\displaystyle \tau =-\infty }$ zu einem Zustand ${\displaystyle \left|\phi _{1}\right\rangle }$ bei ${\displaystyle \tau =0}$. Bei ${\displaystyle \tau =0}$ ändert sich die Wellenfunktion unstetig zu ${\displaystyle \left|\phi _{0}\right\rangle }$, und entwickelt sich dann weiter zu ${\displaystyle \left|\chi \right\rangle }$ bei ${\displaystyle \tau =\infty }$.

Randbedingungen für die ${\displaystyle \phi }$-Felder in der ${\displaystyle x_{1}}$-${\displaystyle \tau }$-Ebene für eine Berechnung der Vakuum-Dichtematrix. Die Wirkung der Transfer-Matrizen ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle H_{\theta }}$ ist mit gestrichelten Linien angedeutet.

Es werde jetzt zwischen den Feldern ${\displaystyle \phi =\phi ^{R}}$ bei ${\displaystyle x_{1}>0}$ und den Feldern ${\displaystyle \phi =\phi ^{L}}$ bei ${\displaystyle x_{1}<0}$ unterschieden (es reicht, sich auf ein System mit nur einer Raumdimension zu beschränken). Der Vakuum-Dichteoperator ist dann

${\displaystyle \left\langle \phi _{1}^{R}\phi _{1}^{L}\right|\rho _{\Omega }\left|\phi _{0}^{R}\phi _{0}^{L}\right\rangle ={\mathcal {N}}\lim _{\beta \rightarrow \infty }\left\langle \chi \right|e^{-\beta H}\left|\phi _{0}^{R}\phi _{0}^{L}\right\rangle \left\langle \phi _{1}^{R}\phi _{1}^{L}\right|e^{-\beta H}\left|\chi \right\rangle .}$

Es werde angenommen, dass nur die Felder ${\displaystyle \phi ^{R}}$ bei ${\displaystyle x_{1}>0}$ von Interesse sind. Technisch läuft dies auf die Spur des Dichteoperators hinaus. D.h. bei ${\displaystyle x_{1}<0}$ ist ${\displaystyle \phi _{0}^{L}=\phi _{1}^{L}}$ zu setzen und über die ${\displaystyle \phi _{0}^{L}}$ ist zu integrieren. Das Ergebnis ist die reduzierte Dichtematrix für den Bereich ${\displaystyle x_{1}>0}$,

${\displaystyle \left\langle \phi _{1}^{R}\right|\rho _{\Omega }^{R}\left|\phi _{0}^{R}\right\rangle ={\mathcal {N}}\lim _{\beta \rightarrow \infty }\left\langle \chi \right|e^{-\beta H}\left|\phi _{0}^{R}\right\rangle \left\langle \phi _{1}^{R}\right|e^{-\beta H}\left|\chi \right\rangle .}$

Der Rest der Herleitung ist reine Geometrie und Interpretation. Der Ausdruck rechts ist interpretierbar als die Entwicklung eines generischen Zustands ${\displaystyle \left|\chi \right\rangle }$ in imaginärer Zeit von ${\displaystyle \tau =-\infty }$ bis ${\displaystyle \tau =0.}$ Bei ${\displaystyle \tau =0^{-}}$ und ${\displaystyle x_{1}>0}$ ist die Feldkonfiguration ${\displaystyle \left|\phi _{1}^{R}\right\rangle }$ vorgegeben, bei ${\displaystyle \tau =0^{+}}$ und ${\displaystyle x_{1}>0}$ ist die Feldkonfiguration ${\displaystyle \left|\phi _{0}^{R}\right\rangle }$ vorgegeben. Bei ${\displaystyle \tau =0}$ und ${\displaystyle x_{1}<0}$ gibt es keine Unstetigkeit mehr. Ab ${\displaystyle \tau >0}$ entwickelt sich die Wellenfunktion zu ${\displaystyle \left|\chi \right\rangle }$. Man kann jetzt folgendermaßen argumentieren.

• Quantenfeldtheorien mit imaginärer Zeitvariable sind Feldtheorien der klassischen statistischen Physik. Die imaginäre Zeitvariable ${\displaystyle \tau }$ ist dabei nur eine weitere Raumdimension (die Äquivalenz ist in der Pfadintegraldarstellung der Quantenfeldtheorie explizit realisiert).
• Der Hamilton-Operator ${\displaystyle H}$ der Quantenfeldtheorie entspricht der Transfer-Matrix der klassischen Feldtheorie (${\displaystyle H}$ ist ein Generator, die Transfer-Matrix ist eine kleine Transformation ${\displaystyle e^{-\epsilon H}}$).
• Der Erwartungswert ${\displaystyle \left\langle \phi _{1}^{R}\right|\rho _{\Omega }^{R}\left|\phi _{0}^{R}\right\rangle }$ mit einer Unstetigkeit bei ${\displaystyle \tau =0,}$ ${\displaystyle x_{1}>0}$ lässt sich anstatt von ${\displaystyle \tau =-\infty }$ bis ${\displaystyle \tau =\infty }$ auch in Polarkoordinaten ${\displaystyle x_{1}=\rho \cos \theta }$, ${\displaystyle \tau =\rho \sin \theta }$ auswerten. Die Unstetigkeit tritt dann bei ${\displaystyle \theta =2\pi }$ auf.
• Die klassische Feldtheorie zu einer relativistisch invarianten Quantenfeldtheorie ist räumlich isotrop, es gibt daher überall eine Transfer-Matrix in beliebige Richtung, insbesondere auch in ${\displaystyle \theta }$-Richtung. Die Vakuum-Dichtematrix des Halbraums ${\displaystyle x_{1}>0}$ lässt sich daher schreiben ${\displaystyle \left\langle \phi _{1}^{R}\right|\rho _{\Omega }^{R}\left|\phi _{0}^{R}\right\rangle ={\mathcal {N}}\left\langle \phi _{1}^{R}\right|e^{-2\pi H_{\theta }}\left|\phi _{0}^{R}\right\rangle .}$

Ausgedrückt durch eine lokale Transfer-Matrix schreibt sich die Exponentialfunktion ${\displaystyle e^{-2\pi \rho h_{\theta }}}$, wobei ${\displaystyle h_{\theta }}$ um eine ${\displaystyle \rho }$-unabhängige Länge transferiert. Dies entspricht lokal einer thermischen Zustandsdichte mit reziproker Temperatur ${\displaystyle 2\pi \rho =\beta =1/k_{\mathrm {B} }T}$ und Energie ${\displaystyle h_{\theta }}$.

Das zu dieser thermischen Zustandsdichte gehörende physikalische Bezugssystem ergibt sich, wenn man die (formal) imaginäre Zeit ${\displaystyle \theta }$ reell macht, d. h. ${\displaystyle \theta =i\eta }$. Die Polarkoordinaten werden dann zu Rindler-Koordinaten für den Keil ${\displaystyle x_{1}>0}$, ${\displaystyle \left|\tau \right|<\left|x_{1}\right|}$. Ein Beobachter bei konstanter Rindler-Koordinate ${\displaystyle \rho }$ ist einer konstanten Beschleunigung ${\displaystyle a=1/\rho }$ ausgesetzt, und die Vakuum-Dichtematrix wird zu einer thermischen Dichtematrix mit der Unruh-Temperatur.

Die Elimination der Freiheitsgrade bei ${\displaystyle x_{1}<0}$ ist ein essentieller Schritt der Herleitung, und man kann zeigen, dass dabei die Verschränkung der Feldfreiheitsgrade bei ${\displaystyle x_{1}<0}$ und ${\displaystyle x_{1}>0}$ eine Rolle spielt.

Literatur

• Viatcheslav F. Mukhanov, et al.: Introduction to quantum effects in gravity. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2009, ISBN 0-521-86834-3; Kap.8, Unruh effect, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
• Luis C. B Crispino, et al.: The Unruh effect and its applications. Reviews of Modern Physics, 80, 2008, S. 787–838, doi:10.1103/RevModPhys.80.787 (arxiv:0710.5373).
• John Earman: The Unruh effect for philosophers. Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 42, 2011, S. 81–97, doi:10.1016/j.shpsb.2011.04.001.
• Stephen A. Fulling und George E.A. Matsas: Unruh effect. Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31789.
• Daniel Harlow: Jerusalem Lectures on Black Holes and Quantum Information. arxiv:1409.1231v4.

Weblinks

• Der Unruh-Effekt wird messbar, auf: orf.at vom 10. Dezember 2020: Vorschlag einer Quantensimulation mit Hilfe eines Bose-Einstein-Kondensats (BEC).
• Unruh-Effekt • Hawkingstrahlung • Bremsstrahlung • Rindler-Raumzeit Vortrag von Josef M. Gaßner in der Reihe "Von Aristoteles zur Stringtheorie" Folge 63

Anmerkungen

1. Ein knapp über dem Ereignishorizont eines schwarzen Loches fixierter (z. B. an einem Seil hängender) Beobachter ist einem starken Schwerefeld ausgesetzt. Nach dem Äquivalenzprinzip entspricht das Schwerefeld einer starken Beschleunigung, und der Beobachter sieht daher eine Strahlung mit der entsprechenden Unruh-Temperatur. Diese Strahlung erreicht einen weit vom schwarzen Loch entfernt ruhenden Beobachter (nach gravitativer Rotverschiebung) als Hawking-Strahlung.