Regulärer Wert

Reguläre Werte u​nd reguläre Punkte s​ind Objekte a​us der Differentialgeometrie. Reguläre Punkte werden u​nter anderem i​n der Definition e​iner Submersion verwendet, wichtige Eigenschaften v​on regulären Werten folgen a​us dem Satz v​om regulären Wert beziehungsweise d​em Satz v​on Sard.

Definition

Angenommen ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ seien glatte Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ eine ${\displaystyle r}$-mal differenzierbare Abbildung. Ein Punkt ${\displaystyle n\in N}$ heißt regulärer Wert von ${\displaystyle f}$, falls für jedes ${\displaystyle m\in f^{-1}(n)}$ das Differential ${\displaystyle D_{m}f}$ surjektiv ist.

Trivialerweise ist also auch jeder Punkt von ${\displaystyle N}$, der nicht im Bild von ${\displaystyle f}$ liegt, ein regulärer Wert.

Ein Punkt ${\displaystyle m}$, für den ${\displaystyle D_{m}f}$ surjektiv ist, wird regulärer Punkt genannt. Ist das Differential ${\displaystyle D_{m}f}$ nicht surjektiv, so spricht man von einem kritischen Punkt, beim Bildpunkt ${\displaystyle f(m)}$ von einem kritischen Wert.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). Springer, New York NY 1988, ISBN 0-387-96790-7.