Torus-Satz von Alexander

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Torus-Satz von Alexander ein Lehrsatz über verknotete Tori in der 3-dimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$.

Satz von Alexander

Der Torus-Satz v​on Alexander besagt: Jeder differenzierbar eingebettete Torus

${\displaystyle T^{2}\subset S^{3}}$

berandet einen in der ${\displaystyle S^{3}}$ eingebetteten Volltorus.

Historische Anmerkung: Alexander bewies diesen Satz ursprünglich n​icht für differenzierbare, sondern für PL-Einbettungen.[1]

Verallgemeinerungen

Der Satz v​on Alexander g​ilt analog a​uch in höheren Dimensionen:

Sei

${\displaystyle f\colon S^{p}\times S^{q}\to S^{p+q+1}}$

eine differenzierbare Einbettung mit ${\displaystyle p,q\geq 1}$. Wenn entweder ${\displaystyle 1\leq p\leq q}$ und ${\displaystyle p+q\not =3}$, oder ${\displaystyle p=1}$ und ${\displaystyle q=2}$ gilt, dann ist der Abschluss einer der beiden Komponenten von

${\displaystyle S^{p+q+1}\setminus f(S^{p}\times S^{q})}$

diffeomeorph zu ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q}}$.[2][3][4][5][6]

Dagegen gibt es differenzierbar eingebettete 3-Tori ${\displaystyle T^{3}\subset S^{4}}$, die keine zu ${\displaystyle D^{2}\times T^{2}}$ homöomorphe Untermannigfaltigkeit beranden.[7][8]

Einzelnachweise

1. James W. Alexander: On the subdivision of a 3-space by a polyhedron. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Bd. 10, Nr. 1, 1924, S. 6–8, JSTOR 84201.
2. Antoni Kosiński: On Alexander's theorem and knotted spheres. In: Marion K. Fort (Hrsg.): Topology of 3-manifolds and related topics. Proceedings of the University of Georgia Institute, 14.08.–08.09.1961. Prentice Hall, Englewood Cliffs N.J. 1962, S. 55–57.
3. Charles T. C. Wall: Unknotting tori in codimension one and spheres in codimension two. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Bd. 61, Nr. 3, 1965, S. 659–664, doi:10.1017/S0305004100039001.
4. Richard Z. Goldstein: Piecewise linear unknotting of S^p×S^q in S^p+q+1. In: Michigan Mathematical Journal Bd. 14, Nr. 4, 1967, S. 405–415, doi:10.1307/mmj/1028999841.
5. J. Hyam Rubinstein: Dehn's lemma and handle decompositions of some 4-manifolds. In: Pacific Journal of Mathematics. Bd. 86, Nr. 2, 1980, S. 565–569, doi:10.2140/pjm.1980.86.565.
6. Osamu Saeki, Laércio Aparecido Lucas, Manzoli Neto Oziride: A generalization of Alexander's torus theorem to higher dimensions and an unknotting theorem for S^p×S^q embedded in S^p+q+2. In: Kobe Journal of Mathematics. Bd. 13, Nr. 2, 1996, S. 145–165.
7. Atsuko Katanaga, Osamu Saeki: Embeddings of quaternion space in S⁴. In: Journal of the Australian Mathematical Society. Series A: Pure Mathematics and Statistics. Bd. 65, Nr. 3, 1998, S. 313–325, doi:10.1017/S1446788700035904.
8. Laércio Aparecido Lucas, Osamu Saeki: Codimension one embeddings of product of three spheres. In: Topology and its Applications. Bd. 146/147, 2005, S. 409–419, doi:10.1016/j.topol.2003.06.005.