Topologische Äquivalenz

Topologische Äquivalenz i​st ein Begriff a​us der Theorie dynamischer Systeme.

Anschaulich s​ind zwei dynamische Systeme i​n diesem Sinne äquivalent, w​enn es e​ine Selbstabbildung d​es Phasenraums gibt, u​nter der d​ie Bahnen d​es einen Systems d​en Bahnen d​es zweiten Systems entsprechen.

Definition

Zwei dynamische Systeme ${\displaystyle \Phi _{1},\Phi _{2}}$ auf einem Phasenraum ${\displaystyle X}$ heißen topologisch äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus ${\displaystyle h\colon X\to X}$ gibt, so dass

${\displaystyle h(\Phi _{1}(t,x))=\Phi _{2}(t,h(x))}$

für alle ${\displaystyle (t,x)}$ gilt.

Man sagt dann, dass ${\displaystyle h}$ den Fluss ${\displaystyle \Phi _{1}}$ in den Fluss ${\displaystyle \Phi _{2}}$ konjugiert.

Man spricht v​on der topologischen Äquivalenz zweier gewöhnlicher Differentialgleichungen (oder zweier Vektorfelder), w​enn die zugehörigen Flüsse topologisch äquivalent sind.

Beispiele

• Die Flüsse der Differentialgleichungen ${\displaystyle {\dot {x}}=x}$ und ${\displaystyle {\dot {x}}=2x}$ sind topologisch äquivalent. Der Homöomorphismus ${\displaystyle h(x)=x^{2}}$ konjugiert den Fluss ${\displaystyle \Phi _{1}(t,x)=e^{t}x_{0}}$ von ${\displaystyle {\dot {x}}=x}$ in den Fluss ${\displaystyle \Phi _{2}(t,x)=e^{2t}x_{0}}$ von ${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2}}$ .

• Der (ungedämpfte) harmonische Oszillator ist nicht topologisch äquivalent zum gedämpften harmonischen Oszillator: während beim harmonischen Oszillator alle Bahnen periodisch sind, streben beim gedämpften harmonischen Oszillator alle Bahnen zum Gleichgewichtspunkt.

• Der Satz von Hartman-Grobman gibt (unter gewissen Voraussetzungen) die topologische Äquivalenz zwischen einer gewöhnlichen Differentialgleichung und ihrer Linearisierung. Sei x‘=Ax die Linearisierung von x‘=v(x), es gelte also ${\displaystyle v=v_{1}+v_{2}}$ mit ${\displaystyle v_{1}(x)=Ax}$ und ${\displaystyle v_{2}(x)=O(\Vert x\Vert ^{2})}$ . Wenn alle Eigenwerte des Operators A in der linken Halbebene liegen (also negative Realteile haben), dann sind die Differentialgleichung und ihre Linearisierung topologisch äquivalent.

Literatur

• V. I. Arnold: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 250, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-3879-0681-9