Teilchen auf dem Ring

Das Teilchen a​uf dem Ring i​st eines d​er verschiedenen Modellsysteme a​us der Quantenmechanik, welches z​ur Quantisierung d​er Energie führt. Es i​st dem Teilchen i​m Kasten s​ehr ähnlich u​nd wird d​aher auch a​ls „Teilchen i​m kreisförmigen Potentialkasten“ bezeichnet.

Im Unterschied zum Teilchen im Kasten bewegt sich das Teilchen auf dem Ring jedoch nicht linear, sondern kreisförmig potentialfrei um einen bestimmten Punkt. Deshalb ist es günstiger mit Polar- als mit Kartesischen Koordinaten zu rechnen: die Wellenfunktion des Teilchens hängt nicht vom Abstand ${\displaystyle r}$ zum Mittelpunkt ab (weil es sich auf einem konstanten Radius ${\displaystyle \rho }$ bewegt), sondern nur vom Polarwinkel ${\displaystyle \phi }$.

Mathematische Betrachtung

Um d​ie Wellenfunktionen u​nd die Energien d​er Zustände d​es Teilchens a​uf dem Ring z​u finden, i​st es nötig d​ie stationäre Schrödingergleichung i​m gegebenen Potential z​u lösen. Dieses i​st gegeben durch

${\displaystyle V(\phi )={\begin{cases}V_{0},&{\text{wenn }}r=\rho \\\infty ,&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

Der winkelabhängige Anteil d​es Hamilton-Operators i​n Polarkoordinaten lässt s​ich als

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+V_{0}}$

schreiben, wodurch s​ich die z​u lösende Schrödingergleichung ergibt:

${\displaystyle \psi ''(\phi )=-{\frac {2m\rho ^{2}}{\hbar ^{2}}}(E-V_{0})\psi (\phi )}$

Es handelt s​ich also u​m eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung, für d​ie der Lösungsansatz lautet:

${\displaystyle \psi _{M}(\phi )=\alpha \cdot e^{\mathrm {i} M\phi }}$

Durch Einsetzen i​n die Schrödingergleichung erhält man

${\displaystyle M={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\rho }$

Durch Umformen erhält m​an die Energien d​es Teilchens a​uf dem Ring:

${\displaystyle E_{M}={\frac {M^{2}\cdot \hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}+V_{0}\quad M\in \mathbb {Z} }$

Dass ${\displaystyle M}$ ganzzahlig sein muss, ergibt sich aus der Randbedingung, dass die Wellenfunktion nach einer Umdrehung auf dem Ring wieder dieselbe sein muss:

${\displaystyle \psi (\phi )=\psi (\phi +2\pi )}$

was z​u folgender Bedingung führt:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\Rightarrow \;&\alpha \cdot e^{\mathrm {i} M\phi }&&=\alpha \cdot e^{\mathrm {i} M(\phi +2\pi )}\\\Leftrightarrow \;&e^{\mathrm {i} M\phi }&&=e^{\mathrm {i} M\phi }\cdot e^{2\pi \mathrm {i} M}\\\Leftrightarrow \;&e^{2\pi \mathrm {i} M}&&=1.\end{alignedat}}}$

Dies ist nur erfüllt, wenn ${\displaystyle M}$ eine ganze Zahl ist.

Um die Differentialgleichung (bis auf einen Phasenfaktor) eindeutig zu lösen (der Konvention nach wählt man ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{+}}$), muss die Wellenfunktion noch normiert werden. Dies geschieht, indem man ihr Betragsquadrat über den gesamten Raum, von ${\displaystyle 0}$ bis ${\displaystyle 2\pi }$, integriert:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\int _{0}^{2\pi }|\psi (\phi )|^{2}\cdot \mathrm {d} \phi \\\Leftrightarrow 1&=\int _{0}^{2\pi }\left|\alpha \cdot e^{\mathrm {i} M\phi }\right|^{2}\cdot \mathrm {d} \phi \\\Rightarrow 1&=\alpha ^{2}\cdot \int _{0}^{2\pi }\underbrace {e^{\mathrm {i} M\phi }e^{-\mathrm {i} M\phi }} _{=1}\mathrm {d} \phi \\\Leftrightarrow \alpha &={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\end{aligned}}}$

Somit lautet d​ie Eigenfunktion d​es Hamiltonoperators für e​in Teilchen a​uf dem Ring:

${\displaystyle \psi _{M}(\phi )={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{\mathrm {i} M\phi }\quad M\in \mathbb {Z} ,&{\text{wenn }}r=\rho \\0,&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

Da Linearkombinationen von Eigenfunktionen zu demselben Energieeigenwert ${\displaystyle E_{M}}$ (d. h. hier: mit demselben Wert für ${\displaystyle M^{2}}$) ebenfalls Eigenfunktionen zu diesem Eigenwert sind, folgt (mit der Euler'schen Identität), dass man alternativ

${\displaystyle \psi _{M}^{(1)}(\phi ):={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cdot \cos {(M\phi )}}$

${\displaystyle \psi _{M}^{(2)}(\phi ):={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cdot \sin {(M\phi )}}$

als entartete Eigenfunktionen zum Eigenwert ${\displaystyle E_{M},M\in \mathbb {N} _{0}}$, wählen kann. Der geänderte Faktor ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}\;\mathrm {statt} \;{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right)}$ resultiert aus der Normierung der Wellenfunktionen.

Entartung

Neben der Quantisierung führt dieses relativ einfach zu rechnende Beispiel auf das Konzept der Entartung. Da Zustände, bei denen sich ${\displaystyle M}$ nur im Vorzeichen unterscheidet, zwar verschiedene Zustände, aber wegen ${\displaystyle (+M)^{2}=(-M)^{2}}$ dieselben Energien darstellen, existieren hier jeweils zwei Zustände mit derselben Energie: die Zustände sind also – außer im Fall der trivialen Lösung ${\displaystyle M=0}$ – 2-fach entartet. Stellt man die Wellenfunktionen reell mit trigonometrischen Funktionen dar, sind die beiden Eigenfunktionen zum entarteten Energieeigenwert der Sinus- und der Cosinus-Term.

Lösungsraum und Fourierreihe

Eine Operatorgleichung wie die Schrödinger-Gleichung bedingt bestimmte Eigenschaften für ihre Lösung (bspw. Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Periodizität). Dadurch wird der Raum möglicher Lösungen (hier Wellenfunktionen) eingeschränkt. In der obigen Darstellung ist bspw. ${\displaystyle \psi \in L_{2}(0,L).}$

Unter der Annahme, dass ${\displaystyle \psi _{t}\in C_{p}^{2}(0,L)}$ mit ${\displaystyle C_{p}^{2}(0,L)\subset L_{2}(0,L)}$ kann die Wellenfunktion mittels der Fourier-Reihe geschrieben werden

${\displaystyle \psi _{t}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\alpha _{n}(t)e^{i{\frac {2\pi }{L}}nx}\forall x.}$

Dabei sind ${\displaystyle \alpha _{n}(t)}$ die Fourierkoeffizienten

${\displaystyle \alpha _{n}(t)=\int _{-L/2}^{L/2}\psi _{t}(x)e^{-i{\frac {2\pi }{L}}nx}dx.}$

Dann k​ann die Schrödinger-Gleichung z​u einer Gleichung für d​ie Fourier-Koeffizienten umgeschrieben als

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(i{\dot {\alpha }}_{n}(t)-{\frac {\hbar 2\pi ^{2}n^{2}}{mL^{2}}}\alpha _{n}(t)\right)e^{i{\frac {2\pi }{L}}nx}=0}$

Über d​ie Eindeutigkeit d​er Fourier-Koeffizienten w​ird diese vereinfacht zu

${\displaystyle i{\dot {\alpha }}_{n}(t)-{\frac {\hbar 2\pi ^{2}n^{2}}{mL^{2}}}\alpha _{n}(t)=0.}$

Die Lösung h​at dann d​ie Form

${\displaystyle \psi _{t}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\alpha _{n}(t)~e^{-i{\frac {2\pi ^{2}\hbar }{mL^{2}}}n^{2}t}~e^{i{\frac {2\pi }{L}}nx}.}$

Siehe auch

• Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)
• Anharmonischer Oszillator

Literatur

• Lutz Zülicke: Molekulare Theoretische Chemie. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-00488-0, Kapitel 2: Grundbegriffe der Quantenmechanik, doi:10.1007/978-3-658-00489-7_2.