Taxicab-Zahl

In der Mathematik ist die ${\displaystyle n}$-te Taxicab-Zahl definiert als die kleinste natürliche Zahl, die sich auf ${\displaystyle n}$ verschiedene Arten als Summe zweier Kubikzahlen darstellen lässt. Godfrey Harold Hardy und E. M. Wright haben bewiesen, dass es für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ eine Taxicab-Zahl ${\displaystyle \operatorname {Ta} (n)}$ gibt.[1] Der Beweis sagt jedoch nichts über die Werte dieser Zahlen aus, sodass sie nur mit großem (computerunterstütztem) Aufwand gefunden werden können.

Ihren Namen verdankt sie einer berühmten Anekdote von Hardy. Er besuchte Ramanujan am Krankenbett und erwähnte, dass er mit einem Taxi der Nummer ${\displaystyle 1\,729}$ gekommen sei, was Hardy für eine uninteressante Zahl hielt. Ramanujan fand dies nicht, indem er Hardy die oben erwähnten Eigenschaften darlegte.[2]

Bekannte Taxicab-Zahlen

Die folgenden s​echs Taxicab-Zahlen s​ind bekannt (Folge A011541 i​n OEIS):

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)&=2\\&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)&=1\,729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)&=87\,539\,319\\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)&=6\,963\,472\,309\,248\\&=2\,421^{3}+19\,083^{3}\\&=5\,436^{3}+18\,948^{3}\\&=10\,200^{3}+18\,072^{3}\\&=13\,322^{3}+16\,630^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)&=48\,988\,659\,276\,962\,496\\&=38\,787^{3}+365\,757^{3}\\&=107\,839^{3}+362\,753^{3}\\&=205\,292^{3}+342\,952^{3}\\&=221\,424^{3}+336\,588^{3}\\&=231\,518^{3}+331\,954^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)&=24\,153\,319\,581\,254\,312\,065\,344\\&=582\,162^{3}+28\,906\,206^{3}\\&=3\,064\,173^{3}+28\,894\,803^{3}\\&=8\,519\,281^{3}+28\,657\,487^{3}\\&=16\,218\,068^{3}+27\,093\,208^{3}\\&=17\,492\,496^{3}+26\,590\,452^{3}\\&=18\,289\,922^{3}+26\,224\,366^{3}\end{aligned}}}$

Obere Schranken für Taxicab-Zahlen

Für d​ie nachfolgenden s​echs Taxicab-Zahlen s​ind obere Schranken bekannt:[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)&\leq 24\,885\,189\,317\,885\,898\,975\,235\,988\,544\\&=2\,648\,660\,966^{3}+1\,847\,282\,122^{3}\\&=2\,685\,635\,652^{3}+1\,766\,742\,096^{3}\\&=2\,736\,414\,008^{3}+1\,638\,024\,868^{3}\\&=2\,894\,406\,187^{3}+860\,447\,381^{3}\\&=2\,915\,734\,948^{3}+459\,531\,128^{3}\\&=2\,918\,375\,103^{3}+309\,481\,473^{3}\\&=2\,919\,526\,806^{3}+58\,798\,362^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (8)&\leq 50\,974\,398\,750\,539\,071\,400\,590\,819\,921\,724\,352\\&=299\,512\,063\,576^{3}+288\,873\,662\,876^{3}\\&=336\,379\,942\,682^{3}+234\,604\,829\,494^{3}\\&=341\,075\,727\,804^{3}+224\,376\,246\,192^{3}\\&=347\,524\,579\,016^{3}+208\,029\,158\,236^{3}\\&=367\,589\,585\,749^{3}+109\,276\,817\,387^{3}\\&=370\,298\,338\,396^{3}+58\,360\,453\,256^{3}\\&=370\,633\,638\,081^{3}+39\,304\,147\,071^{3}\\&=370\,779\,904\,362^{3}+7\,467\,391\,974^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (9)&\leq 136\,897\,813\,798\,023\,990\,395\,783\,317\,207\,361\,432\,493\,888\\&=41\,632\,176\,837\,064^{3}+40\,153\,439\,139\,764^{3}\\&=46\,756\,812\,032\,798^{3}+32\,610\,071\,299\,666^{3}\\&=47\,409\,526\,164\,756^{3}+31\,188\,298\,220\,688^{3}\\&=48\,305\,916\,483\,224^{3}+28\,916\,052\,994\,804^{3}\\&=51\,094\,952\,419\,111^{3}+15\,189\,477\,616\,793^{3}\\&=51\,471\,469\,037\,044^{3}+8\,112\,103\,002\,584^{3}\\&=51\,518\,075\,693\,259^{3}+5\,463\,276\,442\,869^{3}\\&=51\,530\,042\,142\,656^{3}+4\,076\,877\,805\,588^{3}\\&=51\,538\,406\,706\,318^{3}+1\,037\,967\,484\,386^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (10)&\leq 7\,335\,345\,315\,241\,855\,602\,572\,782\,233\,444\,632\,535\,674\,275\,447\,104\\&=15\,695\,330\,667\,573\,128^{3}+15\,137\,846\,555\,691\,028^{3}\\&=17\,627\,318\,136\,364\,846^{3}+12\,293\,996\,879\,974\,082^{3}\\&=17\,873\,391\,364\,113\,012^{3}+11\,757\,988\,429\,199\,376^{3}\\&=18\,211\,330\,514\,175\,448^{3}+10\,901\,351\,979\,041\,108^{3}\\&=19\,262\,797\,062\,004\,847^{3}+5\,726\,433\,061\,530\,961^{3}\\&=19\,404\,743\,826\,965\,588^{3}+3\,058\,262\,831\,974\,168^{3}\\&=19\,422\,314\,536\,358\,643^{3}+2\,059\,655\,218\,961\,613^{3}\\&=19\,426\,825\,887\,781\,312^{3}+1\,536\,982\,932\,706\,676^{3}\\&=19\,429\,379\,778\,270\,560^{3}+904\,069\,333\,568\,884^{3}\\&=19\,429\,979\,328\,281\,886^{3}+391\,313\,741\,613\,522^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (11)&\leq 2\,818\,537\,360\,434\,849\,382\,734\,382\,145\,310\,807\,703\,728\,251\,895\,897\,826\,621\,632\\&=11\,410\,505\,395\,325\,664\,056^{3}+11\,005\,214\,445\,987\,377\,356^{3}\\&=12\,815\,060\,285\,137\,243\,042^{3}+8\,937\,735\,731\,741\,157\,614^{3}\\&=12\,993\,955\,521\,710\,159\,724^{3}+8\,548\,057\,588\,027\,946\,352^{3}\\&=13\,239\,637\,283\,805\,550\,696^{3}+7\,925\,282\,888\,762\,885\,516^{3}\\&=13\,600\,192\,974\,314\,732\,786^{3}+6\,716\,379\,921\,779\,399\,326^{3}\\&=14\,004\,053\,464\,077\,523\,769^{3}+4\,163\,116\,835\,733\,008\,647^{3}\\&=14\,107\,248\,762\,203\,982\,476^{3}+2\,223\,357\,078\,845\,220\,136^{3}\\&=14\,120\,022\,667\,932\,733\,461^{3}+1\,497\,369\,344\,185\,092\,651^{3}\\&=14\,123\,302\,420\,417\,013\,824^{3}+1\,117\,386\,592\,077\,753\,452^{3}\\&=14\,125\,159\,098\,802\,697\,120^{3}+657\,258\,405\,504\,578\,668^{3}\\&=14\,125\,594\,971\,660\,931\,122^{3}+284\,485\,090\,153\,030\,494^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (12)&\leq 73\,914\,858\,746\,493\,893\,996\,583\,617\,733\,225\,161\,086\,864\,012\,865\,017\,882\,136\,931\,801\,625\,152\\&=33\,900\,611\,529\,512\,547\,910\,376^{3}+32\,696\,492\,119\,028\,498\,124\,676^{3}\\&=38\,073\,544\,107\,142\,749\,077\,782^{3}+26\,554\,012\,859\,002\,979\,271\,194^{3}\\&=38\,605\,041\,855\,000\,884\,540\,004^{3}+25\,396\,279\,094\,031\,028\,611\,792^{3}\\&=39\,334\,962\,370\,186\,291\,117\,816^{3}+23\,546\,015\,462\,514\,532\,868\,036^{3}\\&=40\,406\,173\,326\,689\,071\,107\,206^{3}+19\,954\,364\,747\,606\,595\,397\,546^{3}\\&=41\,606\,042\,841\,774\,323\,117\,699^{3}+12\,368\,620\,118\,962\,768\,690\,237^{3}\\&=41\,912\,636\,072\,508\,031\,936\,196^{3}+6\,605\,593\,881\,249\,149\,024\,056^{3}\\&=41\,950\,587\,346\,428\,151\,112\,631^{3}+4\,448\,684\,321\,573\,910\,266\,121^{3}\\&=41\,960\,331\,491\,058\,948\,071\,104^{3}+3\,319\,755\,565\,063\,005\,505\,892^{3}\\&=41\,965\,847\,682\,542\,813\,143\,520^{3}+1\,952\,714\,722\,754\,103\,222\,628^{3}\\&=41\,965\,889\,731\,136\,229\,476\,526^{3}+1\,933\,097\,542\,618\,122\,241\,026^{3}\\&=41\,967\,142\,660\,804\,626\,363\,462^{3}+845\,205\,202\,844\,653\,597\,674^{3}\end{aligned}}}$

Entdeckungsgeschichte

${\displaystyle \operatorname {Ta} (2)=1\,729}$ ist vermöge obiger Anekdote auch als Hardy-Ramanujan-Zahl bekannt, sie wurde schon 1657 von Bernard Frénicle de Bessy publiziert.[4]

${\displaystyle \operatorname {Ta} (3)=87\,539\,319}$ wurde 1957 von John Leech entdeckt.[5]

${\displaystyle \operatorname {Ta} (4)}$ wurde 1991 von dem Amateur-Zahlentheoretiker E. Rosenstiel gefunden[6]

${\displaystyle \operatorname {Ta} (5)}$ wird seit 1999 David W. Wilson verdankt.[7] Unabhängig davon fand wenige Monate später auch Daniel Bernstein diese Zahl.

${\displaystyle \operatorname {Ta} (6)}$ wurde 2003 entdeckt.[8] Zuvor hatte 1998 Daniel Bernstein schon eine obere Schranke angegeben.

Verallgemeinerte Taxicab-Zahl

Als verallgemeinerte Taxicab-Zahlen bezeichnet m​an eine Abwandlung d​er gewöhnlichen Taxicab-Zahlen. Die Definition lautet:

${\displaystyle \operatorname {Taxicab} (k,j,n)}$ ist die kleinste natürliche Zahl, die auf ${\displaystyle n}$ verschiedene Arten als Summe von ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$-ten Potenzen ausgedrückt werden kann.

Für ${\displaystyle k=3}$ und ${\displaystyle j=2}$ handelt es sich um die „gewöhnlichen“ Taxicab-Zahlen.

Leonhard Euler zeigte, d​ass gilt:

${\displaystyle \operatorname {Taxicab} (4,2,2)=635\,318\,657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}}$.

Stuart Gascoigne zeigte, dass ${\displaystyle 2{,}6\cdot 10^{26}}$ eine untere Schranke für ${\displaystyle \operatorname {Taxicab} (4,2,3)}$ ist, das Analogon zu Eulers obiger Lösung, diesmal aber für drei verschiedene Arten, eine positive Zahl als Summe zweier Biquadrate darzustellen (ein explizites Beispiel ist nicht bekannt).[9] Für ${\displaystyle \operatorname {Taxicab} (4,3,n)}$ gibt es nach Hardy und Wright[10] Lösungen für beliebiges ${\displaystyle n}$ und es sind Lösungen zum Beispiel bekannt für ${\displaystyle n=3,4,5,6,7,8,10,12,16,18,19,24.}$[9] Schon bei der Summe von fünften Potenzen ist nicht bekannt, ob es Taxicab-Zahlen ${\displaystyle \operatorname {Taxicab} (5,2,n)}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$ gibt.[11]

Die Frage nach Taxicab-Zahlen ist ein Spezialfall der Frage nach Lösungen der Identitäten ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{k}}$.[12][13] Ein anderer Spezialfall dieses Problemkreises ist die Eulersche Vermutung, eine Verallgemeinerung des Großen Fermatschen Satzes.

Literatur

• Joseph Silverman: Taxicabs and Sums of Two Cubes. In: American Mathematical Monthly. Bd. 100, 1993, ISSN 0002-9890, S. 331–340.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Taxicab Number. In: MathWorld (englisch).
• Taxicab-Zahl, von Meyrignac im Euler-Netz
• Taxicab-Zahlen im Euler-Netz
• Ivars Peterson über Taxicab-Zahlen. (Memento vom 3. August 2002 im Internet Archive).

Einzelnachweise

1. Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An introduction to the theory of numbers. Oxford UP, 4. Auflage 1975, S. 333, Theorem 412, mit Anmerkungen S. 338 f. Die erste Auflage ist von 1938.
2. Hardy: Ramanujan. London 1940. Wörtlich schrieb Hardy:

   “I remember once going to see him when he was lying ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. ‘No’, he replied, ‘it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.’”

   – Quotations by G H Hardy. (Memento vom 16. Juli 2012 im Internet Archive).
3. Christian Boyer: New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers.
4. Bruce Berndt, S. Bhargava: Ramanujan – For Lowbrows. In: American Mathematical Monthly. Band 100, 1993, S. 645–656.
5. J. Leech: Some Solutions of Diophantine Equations. In: Proc. Cambridge Phil. Soc. 531957, S. 778–780.
6. E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel: The Four Least Solutions in Distinct Positive Integers of the Diophantine Equation ${\displaystyle s=x^{3}+y^{3}=z^{3}+w^{3}=u^{3}+v^{3}=m^{3}+n^{3}.}$ In: Bull. Inst. Math. Appl. 271991, S. 155–157.
7. D. W. Wilson: The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496. In: J. Integer Sequences. 2, #99.1.9, 1999.
8. C. S. Calude, E. Calude, M. J. Dinneen: What Is the Value of Taxicab(6)? (PDF; 120 kB). In: J. Uni. Comp. Sci. 9, 2003, S. 1196–1203.
9. Taxicab numbers – 4th powers. In: Euler.free.fr.
10. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers., 1979, S. 330.
11. Walter Schneider: Taxicab numbers. (Memento vom 25. April 2005 im Internet Archive). 2003, Mathews (the Archive of Recreational Mathematics).
12. Lander, Parkin, Selfridge: A survey of equal sums of like powers. In: Mathematics of Computation. Band 21, 1967, S. 446–459.
13. Randy Ekl: New results in equal sums of like powers. In: Mathematics of Computation. Band 67, 1998, S. 1209–1315, online.