TC (Komplexitätsklasse)

In der Komplexitätstheorie, speziell der Schaltkreiskomplexität, ist TC eine Komplexitätsklasse und TCⁱ eine Hierarchie von Komplexitätsklassen. Für jedes $i\in \mathbb {N}$ enthält TCⁱ die formalen Sprachen, die von Schaltkreisfamilien mit Tiefe $O(\log ^{i}n)$ , polynomieller Größe, und Und-, Oder-, und Majority-Gattern mit unbeschränktem Fan-In erkannt werden. Die Definition erweitert damit die Klassen ACⁱ, die keine Majority-Gatter erlaubt. Die Klasse TC ist dann definiert als

{\mbox{TC}}=\bigcup _{i\geq 0}{\mbox{TC}}^{i}.

Ein Majority-Gatter ist dabei ein Gatter, das genau dann 1 ausgibt, wenn mehr als die Hälfte der Eingänge den Wert 1 haben.

Bezug zu anderen Klassen

Zwischen den TC-, NC- und AC-Hierarchien besteht folgende Beziehung:[1]

{\mbox{NC}}^{i}\subseteq {\mbox{AC}}^{i}\subseteq {\mbox{TC}}^{i}\subseteq {\mbox{NC}}^{i+1}.

Daraus folgt NC = AC = TC. Zudem ist

{\mbox{NC}}^{0}\subsetneq {\mbox{AC}}^{0}\subsetneq {\mbox{TC}}^{0}\subseteq {\mbox{NC}}^{1}

${\mbox{AC}}^{0}\subsetneq {\mbox{TC}}^{0}$ folgt daraus, dass Parity und Majority, die beide in TC⁰ liegen, nicht in AC⁰ liegen.[2]

Uniformes ${\mbox{TC}}^{0}$ ist echt in PP enthalten.[3]

Hierarchie

Wie bei NC und AC und anderen Hierarchien in der Komplexitätstheorie ist unbekannt, ob die TC-Hierarchie echt ist, also ob für alle $i\in \mathbb {N}$ die Beziehung ${\mbox{TC}}^{i}\subsetneq {\mbox{TC}}^{i+1}$ gilt.

Differenziert man TC⁰ nach der Tiefe der Schaltkreise, erhält man Klassen der Form $TC_{i}^{0}$ für Probleme, die von TC-Schaltkreisen in Tiefe $i$ gelöst werden können. Es ist bekannt, dass $TC_{1}^{0}\subsetneq TC_{2}^{0}\subsetneq TC_{3}^{0}$ gilt.[4]

Einzelnachweise

Vollmer 1999, Seite 126
M. Furst, J. B. Saxe und M. Sipser: Parity, circuits, and the polynomial-time hierarchy. In: Mathematical Systems Theory. Band 17, 1984, S. 13–27, doi:10.1007/BF01744431.
E. Allender: A note on uniform circuit lower bounds for the counting hierarchy. In: Proceedings 2nd International Computing and Combinatorics Conference (COCOON) (= Springer Lecture Notes in Computer Science). Band 1090, 1996, S. 127–135.
András Hajnal, Wolfgang Maass, Pavel Pudlák, Mario Szegedy, György Turán: Threshold Circuits of Bounded Depth. In: Journal of Computer and System Sciences. Band 46, 1993, S. 129–154 (tugraz.at [PDF]).

Literatur

Stasys Jukna: Boolean function complexity. Advances and frontiers. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24507-7.
Heribert Vollmer: Introduction to Circuit Complexity: a Uniform Approach. Springer, 1999, ISBN 3-540-64310-9.

Weblinks

TC. In: Complexity Zoo. (englisch)

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[1] Vollmer 1999, Seite 126

[2] M. Furst, J. B. Saxe und M. Sipser: Parity, circuits, and the polynomial-time hierarchy. In: Mathematical Systems Theory. Band 17, 1984, S. 13–27, doi:10.1007/BF01744431.

[3] E. Allender: A note on uniform circuit lower bounds for the counting hierarchy. In: Proceedings 2nd International Computing and Combinatorics Conference (COCOON) (= Springer Lecture Notes in Computer Science). Band 1090, 1996, S. 127–135.

[4] András Hajnal, Wolfgang Maass, Pavel Pudlák, Mario Szegedy, György Turán: Threshold Circuits of Bounded Depth. In: Journal of Computer and System Sciences. Band 46, 1993, S. 129–154 (tugraz.at [PDF]).