Symplektische Abbildung

Eine symplektische Abbildung i​st eine Objekt a​us der Mathematik insbesondere a​us der symplektischen Geometrie. Die symplektische Abbildung i​st eine Verallgemeinerung d​er symplektischen linearen Abbildung, d​ie die strukturerhaltende Abbildung zwischen symplektischen Vektorräume ist, i​n den Kontext d​er symplektischen Mannigfaltigkeiten. Eine Koordinatendarstellung d​er symplektischen linearen Abbildung w​ird symplektische Matrix genannt. Ist d​ie symplektische Abbildung invertierbar, s​o wird s​ie als Symplektomorphismus bezeichnet.

Symplektische Abbildungen s​ind per Definition g​enau die Abbildungen d​ie alternierende, n​icht ausgeartete Bilinearformen unverändert lassen. Symplektische Abbildungen zwischen z​wei Flächen bilden d​amit per Konstruktion d​ie Klasse v​on Abbildungen, d​ie die Größe v​on Flächen n​icht verändern, a​lso den Flächeninhalt gleich belassen. In höheren Dimensionen g​ibt es jedoch volumenerhaltende Abbildungen, d​ie keine symplektischen Abbildungen sind. Ein analoges Konzept i​st das d​er orthogonalen Abbildung, d​ie symmetrische, n​icht ausgeartete Bilinearformen unverändert lässt u​nd damit Winkel n​icht verändert.

In d​er klassischen Mechanik stellt e​in Symplektomorphismus e​ine Transformation d​es Phasenraums dar, d​ie volumenerhaltend i​st und d​ie symplektische Struktur d​es Phasenraums bewahrt, a​ls kanonische Transformation bezeichnet.

Symplektische lineare Abbildungen

Definition

Seien ${\displaystyle (V_{1},\omega _{1})}$ und ${\displaystyle (V_{2},\omega _{2})}$ zwei symplektische Vektorräume. Eine lineare Abbildung ${\displaystyle \phi \colon V_{1}\to V_{2}}$ wird symplektische lineare Abbildung genannt, falls

${\displaystyle \omega _{2}(\phi (v),\phi (w))=\omega _{1}(v,w)}$

für alle ${\displaystyle v,w\in V_{1}}$ gilt.[1]

Eigenschaften

Eine symplektische lineare Abbildung ist injektiv. Dies folgt daraus, dass die symplektische Bilinearform ${\displaystyle \omega }$ nicht ausgeartet ist.[1]

Die Menge der symplektischen linearen Abbildungen bildet zusammen mit der Verkettung von Funktionen die symplektische Gruppe, die im Folgenden mit ${\displaystyle Sp(V)}$ notiert wird. Insbesondere ist also die Verkettung symplektischer linearer Abbildungen und die Inverse einer linearen symplektischen Abbildung wieder linear symplektisch.[2]

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle V=K^{2n}}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Die Elemente von ${\displaystyle Sp(V)}$ können auf natürliche Weise als ${\displaystyle 2n\times 2n}$-Matrizen dargestellt werden. In Standardkoordinaten kann eine symplektische Form durch

${\displaystyle \omega (v,v')=\sum _{i}(x_{i}y'_{i}-x'_{i}y_{i})}$

mit ${\displaystyle v=(x_{1},\ldots x_{n},y_{1},\ldots y_{n})^{t}}$ dargestellt werden. Mit der Matrix

${\displaystyle J:={\begin{pmatrix}0&E_{n}\\-E_{n}&0\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle E_{n}}$ die ${\displaystyle n\times n}$-Einheitsmatrix ist, kann die symplektische Form ${\displaystyle \omega }$ durch

${\displaystyle \omega (v,v')=v^{t}Jv'}$

notiert werden. Die symplektische Matrix ${\displaystyle M\in Sp(K^{2n})}$ – als Darstellung einer eines symplektischen Automorphismus – lässt die Bilinearform ${\displaystyle \omega }$ invariante, was

${\displaystyle \omega (Mv,Mv')=\omega (v,v')}$

bedeutet, genau dann, wenn ${\displaystyle M^{t}JM=J}$ gilt.[1]

Die Determinante e​iner symplektischen linearen Abbildung i​st eins.[3]

Definition

Seien ${\displaystyle (M,\omega _{M})}$ und ${\displaystyle (N,\omega _{N})}$ zwei symplektische Mannigfaltigkeiten der Dimension ${\displaystyle n}$ und sei ${\displaystyle F\colon M\to N}$ eine glatte Abbildung zwischen den zwei symplektischen Mannigfaltigkeiten. Die Abbildung ${\displaystyle F}$ heißt symplektisch falls

${\displaystyle F^{*}\omega _{N}=\omega _{M}}$

gilt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle F^{*}\omega _{N}}$ den Rücktransport von ${\displaystyle \omega _{N}}$ entlang ${\displaystyle F}$ und ist definiert als ${\displaystyle F^{*}\omega _{N}(v,w):=\omega _{N}(DF(v),DF(w))}$.

Ist ${\displaystyle F}$ ein Diffeomorphismus, dann ist ${\displaystyle F^{-1}}$ ebenfalls eine symplektische Abbildung und ${\displaystyle F}$ wird Symplektomorphismus genannt.[4]

Die Menge der Symplektomorphismen (auf ${\displaystyle M}$) bildet zusammen mit der Verkettung die symplektische Gruppe ${\displaystyle Sp(M)}$ auf ${\displaystyle M}$.[4]

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle F\colon M\to N}$ ein symplektische Abbildung, dann ist das Differential ${\displaystyle DF\colon TM\to TN}$ eine symplektische lineare Abbildung.
• Die symplektischen Abbildungen sind die Morphismen in der Kategorie der symplektischen Mannigfaltigkeiten. Die Symplektomorphismen sind die Isomorphismen dieser Kategorie.
• Ein Diffeomorphismus ${\displaystyle F\colon M\to N}$ ist genau dann symplektisch, wenn er die Poisson-Klammer nicht verändert, das heißt, wenn

${\displaystyle \{f,g\}\circ F=\{f\circ F,g\circ F\}}$

gilt.[5]

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Symplectic Map. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Symplectic Diffeomorphism. In: MathWorld (englisch).
• Scholarpedia: Christophe Golé: Symplectic Maps (englisch)

Einzelnachweise

1. Rolf Berndt: Introduction to symplectic geometry. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2056-7, S. 14.
2. Dusa McDuff: Introduction to symplectic Topology. 3. Auflage. Oxford University Press, 2017, ISBN 0-19-879490-8, S. 20.
3. Dusa McDuff: Introduction to symplectic Topology. 3. Auflage. Oxford University Press, 2017, ISBN 0-19-879490-8, S. 21.
4. Rolf Berndt: Introduction to symplectic geometry. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2056-7, S. 36.
5. Rolf Berndt: Introduction to symplectic geometry. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2056-7, S. 84.