Symmetrischer Operator

Ein symmetrischer o​der auch formal selbstadjungierter Operator i​st ein Objekt a​us der Mathematik. Ein solcher linearer Operator w​ird insbesondere i​n der Funktionalanalysis i​m Kontext unbeschränkter Operatoren betrachtet. Denn e​in beschränkter symmetrischer Operator i​st ein selbstadjungierter Operator.

In vielen Anwendungen werden Operatoren berücksichtigt, d​ie unbeschränkt sind. Beispiele hierfür s​ind die Impuls- u​nd Hamilton-Operatoren i​n der Quantenmechanik s​owie viele lineare Differentialoperatoren. Bei unbeschränkten Differentialoperatoren, d​ie für beschränkte Domänen definiert sind, i​st es v​on der Wahl d​er Randbedingungen abhängig, o​b ein symmetrischer Differentialoperator a​uch wesentlich selbstadjungiert o​der sogar selbstadjungiert ist.

Definition

Sei ${\displaystyle H}$ ein Hilbertraum. Ein linearer Operator ${\displaystyle T\colon D(T)\to H}$ heißt symmetrisch, falls

${\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Tx\rangle }$

für alle ${\displaystyle x,\,y\in D(T)}$ gilt. Mit ${\displaystyle D(T)\subset H}$ wird der Definitionsbereich von ${\displaystyle T}$ bezeichnet.[1][2]

In der Definition wurde nicht gefordert, dass ein symmetrischer Operator dicht definiert sein muss. Jedoch gibt es erst einen zu ${\displaystyle T}$ adjungierten Operator, wenn ${\displaystyle T}$ dicht definiert ist. Daher ist die Definition des symmetrischen Operators in der Literatur in diesem Punkt nicht einheitlich.[3]

Eigenschaften

• Ein linearer Operator ${\displaystyle T}$ ist genau dann symmetrisch, wenn ${\displaystyle T\subseteq T^{*}}$ gilt.[1][2]

• Für beschränkte lineare Operatoren fallen die Begriffe selbstadjungiert und symmetrisch zusammen. Daher sind symmetrische, nicht selbstadjungierte Operatoren immer unbeschränkt. Außerdem besagt der Satz von Hellinger-Toeplitz, dass jeder symmetrische Operator, der auf dem kompletten Hilbertraum definiert ist, stetig und damit selbstadjungiert ist.

• Halbbeschränkte Operatoren sind auch symmetrisch. Erfüllt ein halbbeschränkter Operator ${\displaystyle T}$ eine der Ungleichungen

${\displaystyle \langle Tx,x\rangle \leq C\|x\|^{2}}$ oder ${\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq C\|x\|^{2}}$

dann ist er sogar selbstadjungiert.[4]

• Im Gegensatz zu den selbstadjungierten Operatoren können symmetrische Operatoren auch nicht reelle Eigenwerte haben.[5]

Beispiel

Sei ${\displaystyle D}$ der Funktionenraum der absolut stetigen Funktionen ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle [0,1]}$, die auf dem Rand verschwinden – also für die ${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$ gilt. Da der Raum der absolut stetigen Funktionen über einem Kompaktum isomorph zum entsprechenden Sobolev-Raum ${\displaystyle W^{1,1}}$ ist, kann der zuvor definierte Raum ${\displaystyle D}$ als Sobolev-Raum ${\displaystyle W_{0}^{1,1}([0,1])}$ mit Nullrandbedingung verstanden werden. Betrachte nun den Differentialoperator

${\displaystyle i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\colon D\to L^{2}([0,1])}$

in den Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$. Dieser ist symmetrisch bezüglich des komplexen ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarproduktes. Dies kann mittels partieller Integration gezeigt werden. Jedoch ist ${\displaystyle i{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\colon D\to L^{2}([0,1])}$ nicht selbstadjungiert, da der zu ${\displaystyle i{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}$ adjungierte Operator per Definition den maximalen Definitionsbereich hat, daher gilt für den adjungierten Operator

${\displaystyle \left(i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{*}\colon W^{1,1}([0,1])\to L^{2}([0,1])}$.

Hier erfüllen die Funktionen im Definitionsbereich von ${\displaystyle \left(i{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{*}}$ nicht mehr die Nullrandbedingung. Eine andere Wahl der Randbedingung von ${\displaystyle i{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}$ kann diesen zu einem selbstadjungierten Operatoren machen.

Einzelnachweise

1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 342.
2. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991. ISBN 0070542368, S. 349.
3. Kosaku Yosida: Functional Analysis. 6. Edition Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1980, ISBN 3-540-10210-8, S. 197.
4. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 350.
5. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 353.