Symbolische Dynamik

Die Symbolische Dynamik i​st ein Zweig d​er Theorie dynamischer Systeme, i​n dem Methoden d​er Formalen Sprachen (Grammatiktheorie, Automatentheorie, Komplexitätstheorie) u​nd der Theorie stochastischer Prozesse z​ur Anwendung kommen.

Der Ausgangspunkt der symbolischen Dynamik ist ein zeitdiskretes dynamisches System ${\displaystyle (X,\Phi )}$ mit Zustandsraum ${\displaystyle X}$ und Fluss ${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {T} \times X\to X}$, wobei ${\displaystyle \mathbb {T} }$ entweder gleich ${\displaystyle \mathbb {N} }$ oder für reversible Dynamik gleich ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist. Durch eine Partition des Zustandsraums ${\displaystyle X}$ in eine endliche Anzahl von n Teilmengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots A_{n}}$ gewinnt man eine Vorschrift, wie eine Anfangsbedingung ${\displaystyle x_{0}\in X}$ auf eine Symbolsequenz abzubilden ist:

Weise der Anfangsbedingung ${\displaystyle x_{0}}$ ein Symbol ${\displaystyle a_{k_{0}}}$ zu, wenn ${\displaystyle x_{0}\in A_{k_{0}}}$, weise dann dem Folgezustand ${\displaystyle x_{1}=\Phi (1,x_{0})}$ ein Symbol ${\displaystyle a_{k_{1}}}$ zu, wenn ${\displaystyle x_{1}\in A_{k_{1}}}$, kurz: Weise dem Zustand ${\displaystyle x_{t}=\Phi (t,x_{0})}$ ein Symbol ${\displaystyle a_{k_{t}}}$ zu, wenn ${\displaystyle x_{t}\in A_{k_{t}}}$. Die Folge der von der Bahnkurve ${\displaystyle \{x_{t}|t\in \mathbb {T} \}}$ durchzogenen Teilmengen kann dann als Symbolsequenz ${\displaystyle s=a_{k_{0}}.a_{k_{1}}a_{k_{2}}a_{k_{3}}\dots }$ mit Symbolen ${\displaystyle a_{k_{t}}\in \mathbf {A} }$ angesehen werden. Dabei ist ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ein endliches Alphabet bestehend aus so vielen Symbolen wie es Teilmengen der Partition gibt.

Abhängig von der Zeitmenge ${\displaystyle \mathbb {T} }$ erhält man entweder einseitig unendliche Symbolsequenzen ${\displaystyle s=s_{0}.s_{1}s_{2}\dots }$, wenn ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {N} }$ (engl. one-sided shifts), oder zweiseitig unendliche Symbolsequenzen ${\displaystyle s=\dots s_{-2}s_{-1}s_{0}.s_{1}s_{2}\dots }$, wenn ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$ (engl. two-sided shifts). Der Punkt nach ${\displaystyle s_{0}}$ kennzeichnet üblicherweise die Anfangsbedingung. Die Menge der Symbolsequenzen, der Zustandsraum der symbolischen Dynamik, wird dann ${\displaystyle \Sigma =\mathbf {A} ^{\mathbb {N} }}$ (einseitig), bzw. ${\displaystyle \Sigma =\mathbf {A} ^{\mathbb {Z} }}$ geschrieben. Die obige Konstruktionsvorschrift einer Symbolsequenz entspricht dann einer Abbildung ${\displaystyle \pi \colon X\to \Sigma }$, so dass ${\displaystyle \pi (x_{0})=s}$, wenn ${\displaystyle \Phi (t,x_{0})\in A_{k_{t}}}$, wobei der Teilmenge ${\displaystyle A_{k_{t}}}$ der Partition das Symbol ${\displaystyle a_{k_{t}}\in \mathbf {A} }$ zugeordnet ist.

Zwischen den symbolischen Darstellungen einer Anfangsbedingung ${\displaystyle x_{0}}$ und ihrer ersten Iteration ${\displaystyle x_{1}=\Phi (1,x_{0})}$ besteht ein simpler Zusammenhang: Während ${\displaystyle x_{0}}$ durch die Sequenz ${\displaystyle s=s_{0}.s_{1}s_{2}s_{3}\dots }$ dargestellt wird, beginnt die Konstruktion der Symbolsequenz für ${\displaystyle x_{1}}$ mit dem Symbol ${\displaystyle s_{1}}$. Daher wird ${\displaystyle x_{1}}$ durch die Folge ${\displaystyle s'=s_{1}.s_{2}s_{3}s_{4}\dots }$ dargestellt. ${\displaystyle s'}$ unterscheidet sich also von ${\displaystyle s}$ dadurch, dass alle Symbole in ${\displaystyle s}$ um eine Stelle nach links (oder der Punkt um eine Stelle nach rechts) gerückt sind. Daher gibt es eine Abbildung auf dem Raum der Symbolsequenzen ${\displaystyle \sigma \colon \Sigma \to \Sigma }$, mit ${\displaystyle \sigma (s)=s'}$. Die Abbildung ${\displaystyle \sigma }$ wird Linksverschiebung (engl. left-shift) genannt. ${\displaystyle (\Sigma ,\sigma )}$ heißen symbolische Dynamik. Zwischen dem ursprünglichen System ${\displaystyle (X,\Phi )}$ und der symbolischen Dynamik ${\displaystyle (\Sigma ,\sigma )}$ besteht der Zusammenhang ${\displaystyle \pi \circ \Phi =\sigma \circ \pi }$.

Literatur

• T. Schürmann, I. Hoffmann: arxiv:nlin/0208048 In: J. Phys A: Math. Gen., 28, 1995, S. 5033–5039.
• T. Schürmann: Scaling behaviour of entropy estimates. In: J. Phys A: Math. Gen., 35, 2002, S. 1589–1596, arxiv:cond-mat/0203409v1
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).