Superstatistik

Die Superstatistik[1][2] i​st ein Zweig d​er statistischen Mechanik u​nd der statistischen Physik, d​er sich m​it nichtlinearen Systemen u​nd Nichtgleichgewichts-Systemen befasst. Es zeichnet s​ich durch d​ie Überlagerung (Superposition) mehrerer unterschiedlicher statistischer Modelle aus, u​m die gewünschte Nichtlinearität z​u erzielen. In Bezug a​uf gewöhnliche statistische Ideen i​st dies gleichbedeutend m​it dem Zusammensetzen d​er Verteilungen v​on Zufallsvariablen u​nd kann a​ls einfacher Fall e​ines doppelt stochastischen Modells betrachtet werden. Sie w​urde 2003 v​on E. G. D. Cohen u​nd Christian Beck eingeführt m​it der Motivation, i​n physikalischen Systemen n​icht von vornherein (a priori) Maxwell-Boltzmann-Verteilung anzunehmen.

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Man betrachte ein erweitertes thermodynamisches System, welches lokal im Gleichgewicht ist und eine Boltzmann-Verteilung aufweist. Dann ist die Wahrscheinlichkeit das System in einem Zustand mit Energie ${\displaystyle E}$ zu finden proportional zu ${\displaystyle \exp(-\beta E)}$.[3] Hierbei ist ${\displaystyle \beta }$ die lokale inverse Temperatur. Ein thermodynamisches Nichtgleichgewichts-System wird unter Berücksichtigung makroskopischer Schwankungen der lokalen inversen Temperatur modelliert. Diese Schwankungen treten auf Zeitskalen auf, die viel größer sind als die mikroskopischen Relaxationszeiten für die Boltzmann-Verteilung. Wenn die Schwankungen von ${\displaystyle \beta }$ durch eine Verteilung ${\displaystyle f(\beta )}$ charakterisiert sind, ist der superstatistische Boltzmann-Faktor des Systems gegeben durch

${\displaystyle B(E)=\int _{0}^{\infty }d\beta f(\beta )\exp(-\beta E)\ .}$

Für ein System, das diskrete Energiezustände ${\displaystyle \{E_{i}\}_{i=1}^{W}}$ annehmen kann, definiert die obige Gleichung die superstatistische Partitionsfunktion

${\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{W}B(E_{i})\ .}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand ${\displaystyle E_{i}}$ befindet, ist durch

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{Z}}B(E_{i})}$ gegeben.

Die Modellierung der Fluktuationen von ${\displaystyle \beta }$ führt zu einer statistischen Beschreibung der Boltzmann-Statistik oder "Superstatistik". Wenn zum Beispiel ${\displaystyle \beta }$ einer Gammaverteilung folgt, entspricht die resultierende Superstatistik der Tsallis-Statistik.[4] Superstatistiken können auch zu anderen Statistiken wie Potenzgesetzverteilungen oder gestreckten Exponentialen führen.[5][6]

Einzelnachweise

1. C. Beck, E.G.D. Cohen: Superstatistics. In: Physica A. 322, 2003, S. 267–275. arxiv:cond-mat/0205097. bibcode:2003PhyA..322..267B. doi:10.1016/S0378-4371(03)00019-0.
2. E.G.D. Cohen: Superstatistics. In: Physica D. 139, 2004, S. 35–52. bibcode:2004PhyD..193...35C. doi:10.1016/j.physd.2004.01.007.
3. R. Hanel, S. Thurner, M. Gell-Mann: Generalized entropies and the transformation group of superstatistics. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. 108, Nr. 16, 2011, S. 6390–6394. arxiv:1103.0580. bibcode:2011PNAS..108.6390H. doi:10.1073/pnas.1103539108.
4. http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm
5. Christian Beck: Stretched exponentials. In: Physica A. 365, S. 96–101. arxiv:cond-mat/0510841. doi:10.1016/j.physa.2006.01.030.
6. K Ourabah, L A Gougam, M Tribeche: Nonthermal and suprathermal distributions as a consequence of superstatistics. In: Physical Review E. 91, Nr. 1, 2015, S. 012133. bibcode:2015PhRvE..91a2133O. doi:10.1103/PhysRevE.91.012133. PMID 25679596.