Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß

Ein Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß, a​uch Sub-Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt, i​st eine Mengenfunktion i​n der Stochastik, d​ie eine Verallgemeinerung d​er Wahrscheinlichkeitsmaße darstellt. Im Gegensatz z​u Wahrscheinlichkeitsmaßen w​ird bei Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen d​er Obermenge i​mmer eine Zahl kleinergleich 1 u​nd nicht e​xakt 1 zugeordnet.

Definition

Ein Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß i​st eine Mengenfunktion

${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {A}}\to [0,1]}

auf einem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, also einer Grundmenge ${\displaystyle X}$ und einer σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ über dieser Grundmenge mit den folgenden Eigenschaften:

• σ-Additivität: Für jede abzählbare Folge von paarweise disjunkten Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ gilt

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$

• Es ist ${\displaystyle \mu (X)\leq 1}$.

Elementare Eigenschaften

Die endlichen signierten Maße über einem gemeinsamen Messraum bilden einen reellen Vektorraum. In diesem Raum enthalten die Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße als konvexe Teilmenge, umgekehrt bilden die Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße selbst eine konvexe Teilmenge der endlichen Maße und erben somit viele deren Eigenschaften. Exemplarisch sei hier genannt:

• Es ist ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$
• Monotonie: Ein Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine monotone Abbildung von ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\subset )}$ nach ${\displaystyle ([0,1],\leq )}$, das heißt für ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ gilt

${\displaystyle B\subset A\implies \mu (B)\leq \mu (A)}$.

• σ-Subadditivität: Für eine beliebige Folge ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ gilt ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$.
• σ-Stetigkeit von unten: Ist ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine monoton gegen ${\displaystyle A}$ wachsende Mengenfolge in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, also ${\displaystyle A_{n}\uparrow A}$, so ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)}$.
• σ-Stetigkeit von oben: Ist ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine monoton gegen ${\displaystyle A}$ fallende Mengenfolge in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, also ${\displaystyle A_{n}\downarrow A}$, so ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)}$.

Eigenschaften auf verschiedenen Grundräumen

Die Eigenschaften v​on Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen i​n Abhängigkeit v​on der Struktur d​er Grundräume (Topologischer Raum, metrischer Raum, Polnischer Raum o. ä.) entsprechen i​m Wesentlichen d​en Eigenschaften v​on endlichen Maßen a​uf ebendiesen Räumen u​nd sind i​m dortigen Artikel ausgiebig erläutert.

Einer der wenigen Unterschiede von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen zu endlichen Maßen ist, dass Folgen oder Mengen von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen immer beschränkt sind. Dabei heißt eine Folge von Maßen beschränkt, wenn ${\displaystyle \textstyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\{\|\mu _{n}\|_{\operatorname {TV} }\}<\infty }$ ist. Mit ${\displaystyle \|\mu _{n}\|_{\operatorname {TV} }}$ ist hierbei die Totalvariationsnorm bezeichnet. Dies ist aber für Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße immer erfüllt, da per Definition

${\displaystyle \mu (X)=\|\mu _{n}\|_{\operatorname {TV} }\leq 1}$

ist. Dies führt beispielsweise z​u alternativen Formulierungen b​eim Satz v​on Prochorow, d​a dann a​uf die Beschränktheit verzichtet werden kann. Er lautet dann:

• Ist ${\displaystyle (X,d)}$ ein separabler metrischer Raum und ist eine Menge von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen auf der Borelschen σ-Algebra straff, so ist die Menge relativ folgenkompakt bezüglich der schwachen Konvergenz.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein polnischer Raum, so ist eine Menge von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen genau dann relativ folgenkompakt bezüglich der schwachen Konvergenz, wenn die Menge straff ist.

Des Weiteren g​ibt es n​och spezielle Formulierungen d​es Portmanteau-Theorems für Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.