Totalvariationsnorm

Die Totalvariationsnorm i​st ein Begriff a​us der Maßtheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, d​as sich m​it der Verallgemeinerung v​on Längen- u​nd Volumenbegriffen beschäftigt. Die Totalvariationsnorm ordnet j​edem signierten Maß e​ine Zahl z​u und definiert d​amit eine Norm a​uf dem Vektorraum d​er signierten Maße. Die v​on der Norm induzierte Metrik w​ird dann a​uch Totalvariationsabstand o​der Totalvariationsmetrik genannt.

Teils findet s​ich auch d​ie Bezeichnungen Totalvariation o​der Totale Variation. Diese s​ind jedoch zweideutig, s​ie werden a​uch für d​as aus positiver Variation u​nd negativer Variation zusammengesetzte Maß, d​ie Variation d​es Maßes, verwendet.

Definition

Gegeben sei ein signiertes Maß ${\displaystyle \nu }$ auf dem Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ und sei ${\displaystyle \nu =\nu ^{+}-\nu ^{-}}$ die Jordan-Zerlegung des signierten Maßes und sei ${\displaystyle \Omega =P\cup N}$ die Hahn-Zerlegung des Grundraumes sowie ${\displaystyle |\nu |}$ die Variation des signierten Maßes. Dann heißt

${\displaystyle \Vert \nu \Vert _{TV}:=\nu (P)-\nu (N)=\nu ^{+}(\Omega )+\nu ^{-}(\Omega )=|\nu |(\Omega )}$

die Totalvariationsnorm des signierten Maßes ${\displaystyle \nu }$.

Beispiele

Ist die Grundmenge ${\displaystyle \Omega =\{1,\dots ,n\}}$ für ein fixiertes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so lässt sich jedes endliche signierte Maß durch einen Vektor ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ definieren durch

${\displaystyle \nu (A)=\sum _{i\in A}x_{i}}$.

Die Hahn-Zerlegung wäre dann

${\displaystyle P=\{i\in \Omega \,|\,x_{i}>0\}{\text{ und }}N=\{i\in \Omega \,|\,x_{i}<0\}}$.

Demnach i​st die Totalvariation d​es signierten Maßes

${\displaystyle \Vert \nu \Vert _{TV}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|=\Vert x\Vert _{1}}$

genau d​ie 1-Norm d​es Vektors.

Besitzt das signierte Maß ${\displaystyle \nu }$ eine Dichte ${\displaystyle f}$ bezüglich eines Maßes ${\displaystyle \mu }$, ist also

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\mathrm {d} \mu }$,

so ist die positive Variation durch ${\displaystyle \nu ^{+}(A)=\int _{A}\max(f,0)\mathrm {d} \mu }$ und die negative Variation durch ${\displaystyle \nu ^{-}(A)=-\int _{A}\min(f,0)\mathrm {d} \mu }$ gegeben. Demnach ist

${\displaystyle \Vert \nu \Vert _{TV}=\int _{\Omega }\max(f,0)\mathrm {d} \mu -\int _{\Omega }\min(f,0)\mathrm {d} \mu =\int _{\Omega }|f|\mathrm {d} \mu }$.

Eigenschaften

• Die Totalvariationsnorm macht die endlichen signierten Maße zu einem vollständigen Vektorraum, der sich sogar anordnen lässt.
• Wie für jede Norm lässt sich aus der Totalvariationsnorm eine Metrik definieren durch

${\displaystyle d(\mu ,\nu )=\Vert \mu -\nu \Vert _{TV}}$.

Diese heißt Totalvariationsmetrik oder Totalvariationsabstand. Diese Bezeichnungen werden insbesondere bei der Untersuchung von Teilmengen der signierten Maße verwendet, die keine Unterräume der signierten Maße sind. Beispiele hierfür sind die endlichen Maße, die Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße und die Wahrscheinlichkeitsmaße.

• Für endliche Maße auf der Borelschen σ-Algebra eines metrischen Raumes folgt aus der Konvergenz bezüglich des Totalvariationsabstandes die schwache Konvergenz.
• Der Totalvariationsabstand ist für Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten äquivalent zum Hellingerabstand.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.