Sphärensatz (Topologie)

In d​er Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, i​st der Sphärensatz e​in grundlegender Lehrsatz a​us der Theorie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Er w​urde 1957 v​on Christos Papakyriakopoulos bewiesen.

Ebenso w​ie der u​nter dem Namen Dehns Lemma bekannte Schleifensatz stellt e​r einen Zusammenhang zwischen d​er (in algebraischen Begriffen formulierbaren) Homotopietheorie u​nd der geometrischen Topologie v​on 3-Mannigfaltigkeiten her; b​eide Sätze bilden d​ie Grundlage für große Teile d​er Theorie d​er 3-Mannigfaltigkeiten.

Sphärensatz

Wenn ${\displaystyle M}$ eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit mit

${\displaystyle \pi _{2}(M)\not =0}$

ist, d​ann gibt e​s eine Einbettung

${\displaystyle f\colon S^{2}\rightarrow M}$

mit

${\displaystyle \left[f\right]\not =0\in \pi _{2}(M)}$,

wobei ${\displaystyle S^{2}}$ die 2-Sphäre und ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ die zweite Homotopiegruppe von ${\displaystyle M}$ ist. Allgemeiner, wenn eine echte Untergruppe ${\displaystyle N\subset \pi _{2}(M)}$ invariant unter der Wirkung von ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ auf ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ ist, dann gibt es eine Einbettung ${\displaystyle f\colon S^{2}\rightarrow M}$ mit ${\displaystyle \left[f\right]\not \in N}$.

Bedeutung

Die Bedeutung des Sphärensatzes liegt darin, dass er es erlaubt, homotopietheoretische Informationen „geometrisch“ (mittels eingebetteter Untermannigfaltigkeiten) umzusetzen. Elemente in ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ werden per definitionem durch stetige Abbildungen ${\displaystyle f\colon S^{2}\rightarrow M}$ repräsentiert; diese müssen aber im Allgemeinen keine Einbettungen sein. Der Sphärensatz besagt nun, dass es in orientierbaren 3-Mannigfaltigkeiten mit ${\displaystyle \pi _{2}(M)\not =0}$ immer eingebettete Sphären gibt, die nichttriviale Elemente von ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ repräsentieren. (Man beachte aber, dass sich auch unter den Bedingungen des Sphärensatzes nicht jedes Element von ${\displaystyle \pi _{2}(M)\setminus \left\{0\right\}}$ durch eine eingebettete Sphäre repräsentieren lassen muss.)

Anwendungen

Eine 3-Mannigfaltigkeit heißt irreduzibel, wenn in ${\displaystyle M}$ jede eingebettete 2-Sphäre Rand eines eingebetteten 3-Balles ist. Irreduzible Mannigfaltigkeiten sind in der 3-dimensionalen Topologie von Bedeutung, weil sie (neben ${\displaystyle S^{2}}$-Bündeln über ${\displaystyle S^{1}}$) die „Primfaktoren“ in der Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten darstellen, wie sie etwa in der Formulierung des Geometrisierungssatzes verwendet wird.

Aus d​em Sphärensatz lässt s​ich folgern:

Eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit ist genau dann irreduzibel, wenn ${\displaystyle \pi _{2}(M)=0}$ ist.

Als Konsequenz daraus ergibt sich, d​ass orientierbare, irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten m​it unendlicher Fundamentalgruppe i​mmer asphärisch s​ein müssen.

Literatur

• John Hempel: 3-manifolds. Reprint of the 1976 original. American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3695-1.
• William Jaco: Lectures on three-manifold topology (= Regional Conference Series in Mathematics. 43). American Mathematical Society, Providence RI 1980, ISBN 0-8218-1693-4.
• Christos D. Papakyriakopoulos: On Dehn's lemma and the asphericity of knots. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 66, Nr. 1, 1957, S. 1–26, doi:10.2307/1970113.
• John Stallings: Group theory and three-dimensional manifolds (= Yale Mathematical Monographs. 4, ISSN 0084-3377). A James K. Whittemore Lecture in Mathematics given at Yale University, 1969. Yale University Press, New Haven CT u. a. 1971.

Weblinks

Hatcher: Notes o​n Basic 3-Manifold Topology (PDF; 665 kB)