Dehns Lemma

Dehns Lemma i​st in d​er Topologie e​in grundlegender Lehrsatz a​us der Theorie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Es g​eht ursprünglich a​uf Max Dehn zurück, w​urde aber e​rst 1957 v​on Christos Papakyriakopoulos bewiesen zusammen m​it einer e​twas allgemeineren Aussage, d​em sogenannten Schleifensatz (engl. Loop Theorem). Waldhausen g​ab 1968 e​inen anderen Beweis m​it Hilfe v​on Hierarchien i​n Haken-Mannigfaltigkeiten.

Ebenso w​ie der Sphärensatz stellt e​s einen Zusammenhang zwischen d​er (in algebraischen Begriffen formulierbaren) Homotopietheorie u​nd der geometrischen Topologie v​on 3-Mannigfaltigkeiten her, b​eide Sätze bilden d​ie Grundlage für große Teile d​er Theorie d​er 3-Mannigfaltigkeiten.

Dehns Lemma

Sei ${\displaystyle M}$ eine 3-Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle f\colon \mathbb {D} ^{2}\rightarrow M}$ eine stetige Abbildung der Kreisscheibe, die auf einer Umgebung ${\displaystyle U}$ des Randes ${\displaystyle \partial \mathbb {D} ^{2}}$ eine Einbettung mit ${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}$ ist.

Dann gibt es eine Einbettung ${\displaystyle g\colon \mathbb {D} ^{2}\rightarrow M}$ mit ${\displaystyle f\mid _{\partial \mathbb {D} ^{2}}=g\mid _{\partial \mathbb {D} ^{2}}}$.

Schleifensatz

Sei ${\displaystyle M}$ eine 3-Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle F}$ eine Zusammenhangskomponente des Randes ${\displaystyle \partial M}$.

Wenn ${\displaystyle \pi _{1}F\rightarrow \pi _{1}M}$ nicht injektiv ist, dann gibt es eine eigentliche Einbettung ${\displaystyle g\colon (\mathbb {D} ^{2},\partial D^{2})\rightarrow (M,F)}$ mit

${\displaystyle \left[g\mid _{\partial \mathbb {D} ^{2}}\right]\not =0\in ker(\pi _{1}F\rightarrow \pi _{1}M)}$.

Allgemeiner, wenn unter obigen Voraussetzungen ${\displaystyle N\subset \pi _{1}F}$ ein Normalteiler und ${\displaystyle ker(\pi _{1}F\rightarrow \pi _{1}M)\setminus N\not =\emptyset }$ ist, dann gibt es eine eigentliche Einbettung ${\displaystyle g\colon (\mathbb {D} ^{2},\partial D^{2})\rightarrow (M,F)}$ mit

${\displaystyle \left[g\mid _{\partial \mathbb {D} ^{2}}\right]\not \in N}$.

Anwendung: Inkompressible Flächen

Eine in einer 3-Mannigfaltigkeit eigentlich eingebettete (oder in den Rand eingebettete) Fläche ${\displaystyle F\subset M}$ vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 1}$ heißt inkompressibel, wenn es keine in ${\displaystyle M}$ eingebettete Kreisscheibe ${\displaystyle \mathbb {D} \subset M}$ mit ${\displaystyle \mathbb {D} \cap F=\partial \mathbb {D} }$ und ${\displaystyle \left[\partial D\right]\not =0\in \pi _{1}F}$ gibt.

Eine unmittelbare Anwendung des Schleifensatzes liefert die folgende homotopietheoretische Charakterisierung zweiseitiger inkompressibler Flächen vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 1}$.

Eine in einer 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ eigentlich eingebettete (oder in den Rand eingebettete) zusammenhängende zweiseitige Fläche ${\displaystyle F}$ vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 1}$ ist inkompressibel genau dann, wenn

${\displaystyle \pi _{1}F\rightarrow \pi _{1}M}$

injektiv ist.

Anwendung: Knotentheorie

In d​er Knotentheorie f​olgt aus Dehns Lemma, d​ass der triviale Knoten mittels d​er Knotengruppe, d​as heißt d​er Fundamentalgruppe d​es Knotenkomplements charakterisiert werden kann.

Ein Knoten ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ ist genau dann trivial, wenn

${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)\cong \mathbb {Z} }$

gilt.

Literatur

• John Hempel: 3-manifolds. Reprint of the 1976 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI 2004, ISBN 0-8218-3695-1.
• William Jaco: Lectures on three-manifold topology. (= CBMS Regional Conference Series in Mathematics. 43). American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980, ISBN 0-8218-1693-4.
• C. D. Papakyriakopoulos: On Dehn's lemma and the asphericity of knots. In: Ann. of Math. Band 66, Nr. 1, 1957, S. 1–26.
• F. Waldhausen: The word problem in fundamental groups of sufficiently large irreducible 3-manifolds. In: Ann. of Math. Band 88, Nr. 2, 1968, S. 272–280.
• John Stallings: Group theory and three-dimensional manifolds. (= James K. Whittemore Lectures in Mathematics. = Yale Mathematical Monographs. 4). Yale University Press, New Haven, Conn./ London 1971, ISBN 0-300-01397-3.

Weblinks

Hatcher: Notes o​n Basic 3-Manifold Topology (PDF; 665 kB)