Spektraler Raum

Ein spektraler Raum i​st ein topologischer Raum, d​er homöomorph z​um Spektrum e​ines kommutativen Ringes ist. Spektrale Räume s​ind ein wichtiger Gegenstand d​er modernen algebraischen Geometrie.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• ${\displaystyle X}$ ist nüchtern, (quasi-)kompakt, der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen ist kompakt und die Menge der kompakten offenen Teilmengen bildet eine Basis der Topologie;[1]
• ${\displaystyle X}$ ist homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes;
• ${\displaystyle X}$ ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher Kolmogoroff-Räume;[2]
• ${\displaystyle X}$ ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher nüchterner Räume.[3]

In diesem Fall nennen wir ${\displaystyle X}$ spektral.

Besitzt jeder Punkt eines Raumes ${\displaystyle X}$ eine offene Umgebung, die in der Teilraumtopologie spektral ist, so heißt ${\displaystyle X}$ lokal spektral.[4]

Ein topologischer Raum, für d​en der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen wieder kompakt ist, heißt semispektral.[5]

Beispiele

• Jeder Stone-Raum ist spektral, denn jeder diskrete Raum ist Kolmogoroff.
• Für jeden kommutativen Ring ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ spektral.
• Für jeden kommutativen Ring ${\displaystyle A}$ ist das Bewertungsspektrum ${\displaystyle \mathrm {Spv} (A)}$ spektral.[6]
• Jedes Schema ist lokal spektral.

Spektrale Abbildungen

Eine Abbildung ${\displaystyle f:X\to Y}$ zwischen spektralen Räumen heißt spektral, falls für jede offene kompakte Teilmenge ${\displaystyle U\subset Y}$ das Urbild ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ kompakt ist. Die Komposition spektraler Abbildungen ist wieder spektral.

Eigenschaften

• Jeder abgeschlossene Teilraum eines spektralen Raumes ist spektral. Das folgt daraus, dass abgeschlossene Unterschemata affiner Schemata wieder affin sind.
• Das Produkt zweier spektraler Räume ist spektral.[7]

Unterliegende Räume von Schemata

Mithilfe dieser Definitionen ist es möglich, eine Charakterisierung topologischer Räume zu geben, die Schemata zugrunde liegen. Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ sind äquivalent:[8]

• ${\displaystyle X}$ ist der unterliegende Raum eines Schemas;
• ${\displaystyle X}$ ist lokal spektral und semispektral;
• ${\displaystyle X}$ ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines spektralen Raumes;
• ${\displaystyle X}$ ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines affinen Schemas.

Literatur

• Melvin Hochster (1969). Prime ideal structure in commutative rings. Trans. Amer. Math. Soc., 142 43—60
• Stacks project: Tag 08YG
• Wedhorn: Adic spaces

Einzelnachweise

1. Stacks project: Tag 08YG
2. Hochster: Prop. 10
3. Stacks project: Tag 09XX
4. Hochster: §16
5. Hochster: §12
6. Wedhorn: Prop. 4.7
7. Stacks project: Tag 0907
8. Hochster: Prop. 16