Bewertungsspektrum

Das Bewertungsspektrum e​ines kommutativen Ringes i​st ein topologischer Raum, dessen Punkte d​urch Äquivalenzklassen v​on Bewertungen gegeben sind. Es findet Anwendung i​n der Theorie adischer Räume.

Definition

Sei ein kommutativer Ring. Das Bewertungsspektrum von ist die Menge aller Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen von . Die Topologie auf wird von Mengen der Form

erzeugt, wobei beliebige Elemente sind.[1]

Beispiele

  • Der Körper der rationalen Zahlen hat die folgenden Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen: Für jede Primzahl die p-adische Bewertung und die sogenannte triviale Bewertung , die durch für alle gegeben ist. Eine nicht-leere Teilmenge von ist genau dann offen, wenn sie Komplement endlich vieler p-adischer Bewertungen ist. Wir haben einen Homöomorphismus .[2]
  • Der Ring der ganzen Zahlen besitzt alle Einschränkungen von Bewertungen von als Bewertung. Zusätzlich gibt es für jede Primzahl eine Bewertung , die von der trivialen Bewertung auf dem endlichen Körper induziert wird. Wir erhalten also als Menge . Jede offene Menge, die enthält, enthält auch . Die Bewertung ist also eine Spezialisierung von . Die abgeschlossenen Punkte von sind genau die Bewertungen .[3]

Eigenschaften

Das Bewertungsspektrum e​ines kommutativen Ringes i​st ein spektraler Raum.[4]

Ist ein Ringhomomorphismus und eine Bewertung von , so ist eine Bewertung von . Für gilt

Die Abbildung ist also stetig[5] und sogar spektral[6].

Literatur

Einzelnachweise

  1. Wedhorn: Def. 4.1
  2. Wedhorn: Ex. 4.2 (1)
  3. Wedhorn: Ex. 4.2 (2)
  4. Wedhorn: Prop. 4.7 (1)
  5. Wedhorn: Rem. 4.3
  6. Wedhorn: Prop. 4.7 (2)
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