Sonnenschein-Mantel-Debreu-Theorem

Als Sonnenschein-Mantel-Debreu-Theorem bezeichnet m​an in d​er Mikroökonomik u​nd dort speziell i​n der Theorie d​es allgemeinen Gleichgewichts e​inen auf Hugo F. Sonnenschein, Rolf Mantel u​nd Gérard Debreu zurückgehenden Satz. Er besagt vereinfacht, d​ass die aggregierten Überschussnachfragefunktionen, d​ie zu e​inem mit gängigen Annahmen konstruierten Modell d​es allgemeinen Gleichgewichts gehören, n​ur über einige bestimmte, allgemeine Eigenschaften verfügen, ansonsten a​ber keine konkreten Aussagen über i​hre Gestalt möglich sind.

Einordnung

Nachdem v​or allem a​b Mitte d​er 1950er Jahre, angefangen m​it Arrow u​nd Debreu (1954[1]), e​ine Vielzahl a​n Existenzsätzen für Walrasianische (das heißt: kompetitive) Gleichgewichte formuliert worden waren[2] u​nd darüber hinaus verschiedentlich gezeigt worden war, d​ass diese Modelle regelmäßig höchstens endlich v​iele Gleichgewichte besitzen, stellte s​ich die Frage, o​b aus d​en der Ökonomie zugrunde liegenden Parametern weitere Schlussfolgerungen über d​ie Beschaffenheit d​es resultierenden Gleichgewichts abgeleitet werden können. Speziell n​immt dieses Problem b​ei einer Gleichgewichtsanalyse mittels Überschussnachfragefunktionen[3] d​ie folgende Gestalt an: Welche Eigenschaften lassen s​ich aus d​er gängigen Annahmen gehorchenden reinen Tauschökonomie[4]

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {E}} =\left[\left(\mathbf {x} ^{i},u^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\mathbf {e} \right]}$

zur Charakterisierung d​er aggregierten Überschussnachfrage

${\displaystyle \mathbf {z} (\mathbf {p} )\equiv \sum _{i=1}^{I}\mathbf {z} ^{i}(\mathbf {p} )=\sum _{i=1}^{I}\left[\mathbf {x} ^{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} ^{i})-\mathbf {e} ^{i}\right]}$

ableiten? Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}}$ die vektorwertige marshallschen Nachfrage eines Konsumenten, ${\displaystyle \mathbf {z} ^{i}}$ seine Überschussnachfrage, ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$ seine Anfangsausstattung und ${\displaystyle u^{i}}$ seine Nutzenfunktion.

Verschiedene allgemeine Eigenschaften d​er aggregierten Überschussnachfrage lassen s​ich aus gängigen Annahmen ableiten, w​ie das nachfolgende Lemma zeigt.[5]

Sei durch ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\{1,\ldots ,I\}}$ die I-elementige Menge aller Konsumenten gegeben, deren Nutzenfunktionen jeweils stetig, strikt quasikonkav und nichtfallend seien ${\displaystyle u^{i}(\mathbf {x} ^{i})\in \mathbb {R} }$. Sei weiter für jeden Konsumenten eine Anfangsausstattung ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=(e_{1}^{i},\ldots ,e_{n}^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$ gegeben (zur Erklärung der Schreibweise siehe Fußnote[4]). Dann gilt:

1. Die individuellen Überschussnachfragen ${\displaystyle \mathbf {z} ^{i}(\mathbf {p} )}$ sind jeweils stetig in ${\displaystyle \mathbf {p} }$, homogen von Grade null in ${\displaystyle \mathbf {p} }$ und genügen dem Walras-Gesetz, das heißt, es gilt ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {z} ^{i}(\mathbf {p} )=0}$ für alle ${\displaystyle \mathbf {p} }$.
2. Die aggregierte Überschussnachfrage ${\displaystyle \mathbf {z} (\mathbf {p} )}$ ist stetig in ${\displaystyle \mathbf {p} }$, homogen von Grade null in ${\displaystyle \mathbf {p} }$ und genügt dem Walras-Gesetz, das heißt, es gilt ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {z} (\mathbf {p} )=0}$ für alle ${\displaystyle \mathbf {p} }$.

Das Sonnenschein-Mantel-Debreu-Theorem besagt vereinfacht, d​ass es a​ber nicht möglich ist, weitere Eigenschaften d​er aggregierten Überschussnachfrage abzuleiten, o​hne restriktivere Annahmen z​u stellen.

Theorem

Theorem[6]: Sei ${\displaystyle \mathbf {z} (\mathbf {p} )}$ stetig in ${\displaystyle \mathbf {p} }$, homogen von Grade null in ${\displaystyle \mathbf {p} }$ und genüge ${\displaystyle \mathbf {z} (\mathbf {p} )}$ dem Walras-Gesetz. Dann gibt es zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ k Konsumenten mit einer stetigen, strikt quasikonkaven und nichtfallenden Nutzenfunktion und einem Ausstattungsvektor ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=(e_{1}^{i},\ldots ,e_{n}^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$, deren Überschussnachfragefunktion ${\displaystyle \mathbf {z} (\mathbf {p} )}$ ist, und zwar für alle Preise ${\displaystyle \mathbf {p} }$, für die gilt, dass ${\displaystyle p_{i}/\left\Vert \mathbf {p} \right\Vert \geq 0}$ für alle ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$.

Dabei handelt es sich sowohl um eine Verallgemeinerung als auch eine Einpassung in das Arrow-Debreu-Framework, die auf einem früheren Beweis von Mantel (1976[7]) beruht, der wiederum auf die Vorarbeit von Sonnenschein (1973[8]) zurückgeht. Mantels Version des Theorems lautete wie folgt (mit H der Menge aller ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$, für die gilt, dass ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$, und mit ${\displaystyle P^{*}}$ der Menge aller ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$, die für beliebige Preisvektoren ${\displaystyle \mathbf {p} \in P}$ nichtnegative Kosten erzeugen, also ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x} \geq 0}$):

Theorem (Mantel 1976): Sei ${\displaystyle P\subset H}$ kompakt und konvex. Sei weiter ${\displaystyle z:P\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion[9] und gelte für alle ${\displaystyle \mathbf {p} \in P}$ das Walras-Gesetz, das heißt ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {z} (\mathbf {p} )=0}$. Seien ferner ${\displaystyle \mathbf {w} _{j}\in P^{*}}$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$, unabhängige Vektoren. Dann existieren ein reelles ${\displaystyle k>0}$ sowie ein konvexer Kegel ${\displaystyle X\subset P^{*}}$ und damit n nichtgesättigte Konsumenten mit strikt konkaver, homogener Nutzenfunktion ${\displaystyle u^{i}:X\rightarrow \mathbb {R} }$ und Anfangsausstattungen ${\displaystyle k\cdot \mathbf {w} _{i}}$, deren individuelle Überschussnachfragen sich über Z zu P summieren.

Literatur

• William D. A. Bryant: General equilibrium. Theory and evidence. World Scientific, Hackensack 2010, ISBN 978-981-281-834-8 (E-Book: ISBN 978-981-281-835-5).
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-507340-1.
• David M. Kreps: Microeconomic Foundations I. Choice and Competitive Markets Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8.
• James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (auch online: doi:10.1007/978-3-540-32223-8).
• Wayne Shafer, Hugo Sonnenschein: Market demand and excess demand functions. In: Kenneth J. Arrow and Michael D. Intrilligator (Hrsg.): Handbook of Mathematical Economics. Bd. 2. North Holland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6, S. 671–693 (auch online: doi:10.1016/S1573-4382(82)02009-8).

Einzelnachweise

1. Kenneth J. Arrow und Gerard Debreu: Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy. In: Econometrica. 22, Nr. 3, 1954, S. 265–290 (JSTOR 1907353).
2. Dazu im Einzelnen etwa Gerard Debreu: Existence of general equilibrium. In: Steven N. Durlauf und Lawrence E. Blume (Hrsg.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. Auflage. Palgrave Macmillan 2008, doi:10.1057/9780230226203.0523 (Online-Ausgabe) für eine überblickartige historische Einordnung, und Ders.: Existence of competitive equilibrium. In: Kenneth J. Arrow and Michael D. Intrilligator (Hrsg.): Handbook of Mathematical Economics. Bd. 2. North Holland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6, S. 697–743 (auch online: doi:10.1016/S1573-4382(82)02010-4) für eine formale Präsentation einiger verschiedener Modelle.
3. Dazu Gerard Debreu: Existence of competitive equilibrium. In: Kenneth J. Arrow and Michael D. Intrilligator (Hrsg.): Handbook of Mathematical Economics. Bd. 2. North Holland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6, S. 697–743 (auch online: doi:10.1016/S1573-4382(82)02010-4).
4. Zur Erklärung dieser Definition: Betrachtet sei eine Ökonomie aus n Märkten. Die Preise auf diesen Märkten werden in einem Preisvektor ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ zusammengefasst, wobei ${\displaystyle \mathbf {p} \neq \mathbf {0} }$. In der Ökonomie gebe es weiter ${\displaystyle I}$ Konsumenten, wobei für diese die Indexmengen ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\{1,\ldots ,I\}}$ (die Menge aller Konsumenten) definiert werden.
   Das Konsumprofil einer Person ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ ist ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}=(x_{1}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$ – es gibt Auskunft, welche Menge Person i von jedem der n Güter konsumiert. Die Präferenzstruktur eines jeden Individuums ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ findet wiederum in seiner Nutzenfunktion ${\displaystyle u^{i}=u^{i}(\mathbf {x} ^{i})\in \mathbb {R} }$ Ausdruck.
   Die anfänglichen Bestände an den jeweiligen Gütern sind durch einen Ausstattungsvektor ${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ gegeben. ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=(e_{1}^{i},\ldots ,e_{n}^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ist die Ausstattung einer Person ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ (bezüglich aller Güter).
5. Vgl. Kreps 2012, S. 316; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 581 f. Hier wegen der nicht anhand der Präferenz-Indifferenz-Relation R definierten Ökonomie abgewandelt; man beachte zum Verständnis, dass ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ist stetig ${\displaystyle \Rightarrow }$ R ist stetig (ein anderes Theorem von Debreu, vgl. etwa Kreps 2012, S. 35); weiter ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ist strikt quasikonkav ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ R ist strikt konvex; ferner ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ist streng monoton steigend ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ R ist streng monoton. Dazu etwa Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7, S. 17. Die hier vorausgesetzte Stetigkeit der Nutzenfunktion könnte durch die schwächere Annahme der Nichtsättigung von R ersetzt werden.
6. Vgl. Kreps 2012, S. 317; zu den Abweichungen siehe insoweit weiter oben. Ähnlich Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 602. Das Theorem folgt an sich Gerard Debreu: Excess demand functions. In: Journal of Mathematical Economics. 1, Nr. 1, 1974, S. 15–21, doi:10.1016/0304-4068(74)90032-9.
7. Rolf R. Mantel: Homothetic preferences and community excess demand functions. In: Journal of Economic Theory. 12, Nr. 2, 1976, S. 197–201, doi:10.1016/0022-0531(76)90073-9.
8. Hugo F. Sonnenschein: Do Walras’ identity and continuity characterize the class of community excess demand functions? In: Journal of Economic Theory. 6, Nr. 4, 1973, S. 345–354, doi:10.1016/0022-0531(73)90066-5.
9. Also eine Funktion, deren sämtliche partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung stetig sind.