Arrow-Debreu-Gleichgewichtsmodell

Das Arrow-Debreu Gleichgewichtsmodell (auch: Arrow-Debreu-McKenzie-Modell) i​st ein mikroökonomisches Modell d​er gesamten Volkswirtschaft. Es i​st nach Gérard Debreu u​nd Kenneth Arrow s​owie Lionel W. McKenzie benannt, stellt e​ine Weiterentwicklung d​es von Léon Walras entwickelten walrasianischen Gleichgewichtsmodells d​ar und untersucht e​inen gesamtwirtschaftlichen Gleichgewichtszustand.

Das Modell erweitert d​as allgemeine Gleichgewichtsmodell u​m unsichere Erwartungen u​nd zustandsabhängige Größen u​nd ist d​amit für d​ie Finanzierungstheorie v​on großer Bedeutung. Es zeigt, d​ass es i​n einer Marktwirtschaft u​nter idealisierenden Bedingungen n​icht möglich ist, jemanden besserzustellen, o​hne jemand anderen schlechterzustellen. Kurz gesagt i​st ein Marktgleichgewicht e​in Pareto-Optimum.

Allgemeines

Inhalt

Allgemeine Gleichgewichtsmodelle betrachten Marktwirtschaften, i​n denen a​lle Konsumenten u​nd Produzenten rational handeln. Sie beschreiben, w​ie Konsumenten u​nd Produzenten u​nter Beachtung i​hrer Budgetbeschränkungen bzw. technologischen Beschränkungen simultan Angebote u​nd Nachfragen wählen. Im Gegensatz z​u Partialmodellen, d​ie nur Einzelmärkte analysieren, charakterisieren Allgemeine Gleichgewichtsmodelle gesamtwirtschaftliche Ressourcenallokationen, b​ei denen sämtliche Märkte gleichzeitig geräumt sind.

Geschichte

Der e​rste Versuch i​n der Neoklassischen Theorie, e​in umfassendes Modell z​ur Bestimmung d​er relativen Preise i​n einer Ökonomie z​u entwickeln, stammt v​on Léon Walras, d​em Begründer d​er Lausanner Schule. Er wollte a​us der Klassischen Nationalökonomie v​on Adam Smith u​nd David Ricardo e​ine „exakte Wissenschaft“ machen. Daher versuchte er, d​ie Wirtschaft mathematisch z​u beschreiben. Abraham Wald u​nd später Maurice Allais, Kenneth Arrow u​nd Gérard Debreu beschrieben d​ie Existenz u​nd die Stabilität e​ines Allgemeinen Gleichgewichts für e​ine Marktwirtschaft m​it Privateigentum. Arrow, Allais u​nd Debreu erhielten für i​hre Arbeiten z​ur Allgemeinen Gleichgewichtstheorie (AGT) d​en Wirtschaftsnobelpreis.

Beschreibung der Ökonomie

Bestandteile

Betrachtet sei eine Ökonomie aus n Märkten. In dieser gebe es I Konsumenten und J Unternehmen, wobei für diese beiden Gruppen entsprechend die Indexmengen ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\{1,\ldots ,I\}}$ (die Menge aller Konsumenten) bzw. ${\displaystyle {\mathcal {J}}=\{1,\ldots ,J\}}$ (die Menge aller Produzenten) definiert werden. Betrachtet werden nun nacheinander Konsumenten und Produzenten, danach die anfängliche Ausstattung der Ökonomie:

• Die Konsummöglichkeitenmenge eines Konsumenten ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ ist ${\displaystyle X_{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{n}}$ mit ${\displaystyle X_{i}\neq \emptyset }$, also die Menge aller für i möglichen Konsumbündel ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}=(x_{1}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})}$. Seine Präferenzen seien durch die Präferenzordnung ${\displaystyle \succsim _{i}}$ charakterisiert. (Eine solche beinhaltet geordnete Paare ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }}^{i},{\tilde {\mathbf {x} }}^{i})}$ mit ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}^{i},{\tilde {\mathbf {x} }}^{i}\in X_{i}}$, für die gilt, dass ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}^{i}}$ von i schwach gegenüber ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}^{i}}$ präferiert wird.) Der Konsumsektor kann auf Grundlage dessen durch die Folge ${\displaystyle \left\{(X_{i},\succsim _{i})\right\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ beschrieben werden.
• Die Produktionsmöglichkeitenmenge eines Unternehmens ${\displaystyle j\in {\mathcal {J}}}$ ist ${\displaystyle Y_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. Sie beinhaltet alle möglichen Produktionspläne ${\displaystyle \mathbf {y} ^{j}=(y_{1}^{j},\ldots ,y_{n}^{j})}$. Das Vorzeichen einer jeden Komponente ${\displaystyle y_{k}^{j}}$ von ${\displaystyle \mathbf {y} ^{j}}$ wird dabei wie folgt interpretiert:

• ${\displaystyle y_{k}^{j}<0}$ : Produzent j nutzt das Produkt k als Input (z. B. Arbeitsleistung, Rohstoffe)
• ${\displaystyle y_{k}^{j}>0}$ : Produzent j produziert das Produkt k als Output (z. B. Konsumgut)

Der Produktionssektor lässt sich demzufolge durch eine Folge ${\displaystyle \left\{Y_{j}\right\}_{j\in {\mathcal {J}}}}$ charakterisieren.

• Die Anfangsausstattung der Ökonomie beschreibt, welche bzw. wie viele Ressourcen der Ökonomie zu Beginn der Betrachtung zur Verfügung stehen. Sie ist durch den Ausstattungsvektor (Ressourcenvektor) ${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$ gegeben. Zudem vereinbare man ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=(e_{1}^{i},\ldots ,e_{n}^{i})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$ als Ausstattung einer Person ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ (bezüglich aller Produkte).

Gesamtökonomie

Die gesamte Ökonomie lässt s​ich im Arrow-Debreu-Modell infolgedessen a​ls ein Tupel

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {E}} =\left[\left\{(X_{i},\succsim _{i})\right\}_{i\in {\mathcal {I}}},\left\{Y_{j}\right\}_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {e} \right]}$

beschreiben.

Eine häufig anzutreffende Spezifizierung dieser Ökonomie i​st eine Ökonomie m​it Privateigentum

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {E}} ^{p}=\left[\left\{(X_{i},\succsim _{i})\right\}_{i\in {\mathcal {I}}},\left\{Y_{j}\right\}_{j\in {\mathcal {J}}},\left\{\left(\mathbf {e} ^{i},\mathbf {\theta } ^{i}\right)\right\}_{i\in {\mathcal {I}}}\right]}$

Hierbei handelt es sich um ein Wettbewerbssystem, in dem alle Unternehmen (und ihre Gewinne) privates Eigentum darstellen, das heißt, die Gewinne sind Bestandteil des aggregierten Konsumbudgets. Da es sich um eine Wettbewerbsökonomie handelt, werden Güter überdies dezentral auf Wettbewerbsmärkten gehandelt, wobei die Marktakteure als Preisnehmer agieren: Konsumenten maximieren ihren Nutzen, Produzenten ihre Gewinne. Aus der Privateigentumsannahme ergibt sich formal, dass sich das Budget der Konsumenten aus zwei Komponenten zusammensetzt: Zum einen aus einem Anteil ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ an der Anfangsausstattung, zum anderen aus einem Anteil an den Gewinnen der Produzenten. Dieser Anteil betrage gerade ${\displaystyle \mathbf {\theta } ^{i}\in \mathbb {R} ^{J}}$ mit ${\displaystyle \theta ^{i}=(\theta ^{i1},\ldots ,\theta ^{iJ})}$ (${\displaystyle \theta ^{i4}}$ wäre also beispielsweise der Anteil, den Person i an den Gewinnen von Produzent 4 für sich in Anspruch nehmen kann). Entsprechend den Voraussetzungen ist ${\displaystyle \mathbf {e} =\sum _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {e} ^{i}}$ und ${\displaystyle \sum _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {\theta } ^{i}=\mathbf {1} }$.

Das walrasianische Gleichgewicht

Ökonomie mit vollkommenem Wettbewerb

Eine Wettbewerbsökonomie mit Privateigentum (und vollkommenem Wettbewerb) verfügt über einen zentralen Preisvektor ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}$, der den Preis jedes Produktes angibt. Davon ausgehend kann jeder Konsument auch nur im Rahmen eines beschränkten Budgets konsumieren (Budgetrestriktion). In einem Gleichgewichtszustand muss die Budgetrestriktion unbedingt gewahrt sein.

Zudem muss im Gleichgewicht sowohl auf Produzenten- als auch auf Konsumentenseite Optimalitätsbedingungen erfüllt sein. Jeder Konsument ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ muss – unter Wahrung seiner Budgetbeschränkung und gegeben den Preisvektor der Ökonomie – gerade einen solchen Konsumplan wählen, für den gilt, dass er gegenüber jedem anderen möglichen Konsumplan schwach vorgezogen wird. Und jeder Produzent muss der Maxime der Gewinnmaximierung folgen, das heißt, für jeden Produzenten muss gelten, dass der gewählte Produktionsplan – gegeben die Preise in der Ökonomie – gewinnmaximierend ist. (Es wird im Arrow-Debreu-Modell also nicht davon ausgegangen, dass die Optimierungsprobleme von Konsumenten und Unternehmen stets eindeutige Lösungen haben müssen.)

Schließlich muss die gleichgewichtige Allokation zulässig sein, und zwar in folgendem Sinne: Betrachtet man eine Wettbewerbsökonomie mit Privateigentum (und vollkommenem Wettbewerb), so ist ein konkreter „Zustand“ von ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {E}} ^{p}}$ (mit spezifischem Konsum- und Produktionsvektoren für jeden Konsumenten bzw. Produzenten) durch einen ${\displaystyle n(I+J)}$-Allokationsvektor ${\displaystyle \left[\left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]}$ gegeben. Eine solche Allokation bezeichnet man als zulässig, wenn für jede Ressource gilt, dass die insgesamt konsumierte Menge gerade der Anfangsausstattung zuzüglich der insgesamt produzierten Menge entspricht, mithin also wenn

${\displaystyle \sum _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {x} ^{i}=\mathbf {e} +\sum _{j\in {\mathcal {J}}}\mathbf {y} ^{j}}$.

Walrasianisches Gleichgewicht

Für die Wettbewerbsökonomie mit Privateigentum ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {E}} ^{p}}$ ist ein Wettbewerbsgleichgewicht also zusammengefasst definiert als ein Tupel

${\displaystyle \left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} \right]}$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Jede Person maximiert ihren Nutzen, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise und ihr Konsumbudget. Genauer: Sei ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ die Menge aller Konsumvektoren ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}}$, die der Budgetbedingung genügen:

   ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\left\{\mathbf {x} ^{i}\left|\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} ^{i}\leq \mathbf {p} \cdot \mathbf {e} ^{i}+\sum _{j=1}^{J}\theta ^{ij}\cdot \mathbf {p} \cdot \mathbf {y} ^{j*}\right.\right\}}$

Dann ist ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i*}\in {\mathcal {X}}}$ und es gilt: ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i*}\succsim _{i}\mathbf {x} ^{i}}$ für alle ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}\in {\mathcal {X}}}$.

1. Jedes Unternehmen maximiert, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise, seinen Gewinn, das heißt, für alle ${\displaystyle j\in {\mathcal {J}}}$ gilt: ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {y} ^{j}\leq \mathbf {p} \cdot \mathbf {y} ^{j*}}$ für alle ${\displaystyle \mathbf {y} ^{j}\in Y_{j}}$.
2. Die Allokation ${\displaystyle \left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]}$ ist in ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {E}} ^{p}}$ zulässig.

Ein solches Gleichgewicht bezeichnet m​an als walrasianisches Gleichgewicht.

Eine alternative Formulierung für d​ie Zulässigkeitsbedingung (3.) i​st gebräuchlich: Offensichtlich k​ann man d​iese mittels d​er oben eingeführten individuellen Anfangsausstattung nämlich alternativ a​uch durch Überschussnachfragen ausdrücken. Man bezeichnet mit

${\displaystyle \mathbf {z} \equiv \sum _{i\in {\mathcal {I}}}\left(\mathbf {x} ^{i}-\mathbf {e} ^{i}\right)}$

die aggregierte Überschussnachfrage d​er Ökonomie. Eine Allokation i​st damit zulässig g​enau dann, wenn

${\displaystyle \mathbf {z} =\sum _{j\in {\mathcal {J}}}\mathbf {y} ^{j}}$,

das heißt, wenn für jedes Gut die aggregierte Überschussnachfrage aller Konsumenten dem aggregierten Überschussangebot aller Unternehmen entspricht. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, können die Konsum- bzw. Produktionspläne der Konsumenten und Unternehmen nicht alle gleichzeitig realisiert werden, da dann für manche Güter die aggregierte Nachfrage vom aggregierten Angebot abweicht. Beachte, dass die haushaltsspezifische Überschussnachfrage ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}-\mathbf {e} ^{i}}$ positive oder negative Komponenten umfassen kann. Das Vorzeichen der k-ten Komponente dieses Vektors zeigt an, ob der betrachtete (i-te) Konsument das betreffende Produkt kauft oder verkauft: Gilt ${\displaystyle x_{k}^{i*}>e_{k}^{i*}}$, dann will i mehr von k konsumieren als er anfänglich besitzt – und muss die Differenz daher kaufen; gilt dagegen ${\displaystyle x_{k}^{i*}<e_{k}^{i*}}$, will er weniger konsumieren als er anfänglich besitzt – und wird die Differenz daher verkaufen.

Eigenschaften, Implikationen und Existenz des walrasianischen Gleichgewichts

Der zentrale Punkt d​es Arrow-Debreu-Gleichgewichtsmodells i​st die Untersuchung seines Gleichgewichts. Hierbei i​st besonders d​ie Existenz u​nd Effizienz dieses Zustandes interessant.

Walras-Gesetz

Im Gleichgewicht einer Ökonomie mit lokal nicht gesättigten Konsumenten gilt das Walras-Gesetz in Bezug auf die gesamte Ökonomie. (Man bezeichnet eine individuelle Präferenzordnung ${\displaystyle \succsim _{i}}$ auf ${\displaystyle X_{i}}$ als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}^{i}\in X_{i}}$ und für jede ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung ${\displaystyle N_{\epsilon }({\hat {\mathbf {x} }}^{i})}$ um ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}^{i}}$ ein ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}^{i}\in N_{\epsilon }({\hat {\mathbf {x} }}^{i})}$ existiert, sodass ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}^{i}}$ von i strikt gegenüber ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}^{i}}$ präferiert wird, also ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}^{i}\succ _{i}{\hat {\mathbf {x} }}^{i}}$. Vgl. der Artikel Präferenzordnung.) Das heißt, es gilt:

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \left(\sum _{j\in {\mathcal {J}}}\mathbf {y} ^{j}\right)-\left[\mathbf {p} \cdot \left(\sum _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {x} ^{i}\right)-\mathbf {p} \cdot \left(\sum _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {e} ^{i}\right)\right]=0}$

Dies bedeutet, d​ass der Wert d​er (über a​lle Konsumenten u​nd Unternehmen) aggregierten Überschussnachfrage s​tets null s​ein muss.

Existenzbedingungen

Es g​ibt eine Reihe v​on Existenzsätzen für d​ie Existenz e​ines solchen Gleichgewichtes.[1] Im Folgenden w​ird ein a​uf Arrow u​nd Debreu (1954[2]) basierender Existenzsatz vorgestellt.

Existenz eines Gleichgewichts:[3] Betrachte eine Ökonomie ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {E}} }$ im oben definierten Sinne, und seien die folgenden Anforderungen erfüllt:

(1) Für alle Konsumenten ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ gilt:

(a) ${\displaystyle X_{i}}$ ist eine kompakte und konvexe Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$;

(b) ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$ ist ein innerer Punkt von ${\displaystyle X_{i}}$;

(c) ${\displaystyle \succeq _{i}}$ ist stetig[4] und konvex.

(2) Für alle Unternehmen ${\displaystyle j\in {\mathcal {J}}}$ gilt:

(a) ${\displaystyle Y_{j}}$ ist kompakt und konvex;

(b) ${\displaystyle \mathbf {0} \in Y_{j}}$.

Dann verfügt ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {E}} }$ über ein walrasianisches Gleichgewicht.

Bedeutung der Existenzbedingungen

Diese Bedingungen sind keineswegs alle naheliegend oder nur rein technisch. Besonders (1)(b) ist problematisch, auch wenn sie abgeschwächt werden kann; dies gilt auch für die Forderung der Kompaktheit von ${\displaystyle X_{i}}$. Tendenziell erscheinen die Annahmen an die Produzenten natürlicher.

Zu bedenken g​ilt es, d​ass die o​bige Bedingungen n​ur eine hinreichende Bedingung für d​ie Existenz e​ines allgemeinen Gleichgewichtes ist. Aus d​er Verletzung v​on einigen d​er Punkte k​ann also n​icht auf d​ie Nicht-Existenz geschlossen werden. Außerdem können einige d​er Existenzbedingungen erwähntermaßen abgeschwächt werden.

Hauptsätze der Wohlfahrtsökonomie

→ Hauptartikel: Wohlfahrtstheoreme

1. Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie

Wenn d​ie individuellen Präferenzordnungen a​ller Konsumenten l​okal nicht gesättigt s​ind und e​s ein Walras-Gleichgewicht gibt, d​ann ist dieses Gleichgewicht a​uch Pareto-effizient.

2. Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie

Wenn e​ine Allokation

${\displaystyle \left[\left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]}$

Pareto-effizient ist und einige weitere Voraussetzungen erfüllt sind, dann gibt es einen Preisvektor ${\displaystyle \mathbf {p} \neq \mathbf {0} }$ und ein Transferschema so, dass ${\displaystyle \left[\left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} \right]}$ ein Walras-Gleichgewicht (mit Transfers) ist.

Eindeutigkeit und Stabilität des Gleichgewichts

Die Fragen n​ach Eindeutigkeit u​nd Stabilität d​es Gleichgewichts s​ind typischerweise n​icht im Arrow-Debreu-Modell untersucht worden, sondern u​nter der einschränkenden Annahme, d​ass die jeweiligen Optimierungsprobleme v​on Konsumenten u​nd Unternehmen e​ine eindeutige Lösung h​aben und s​ich die Volkswirtschaft d​aher durch e​ine Überschussnachfragefunktion beschreiben lässt.[5] Das Sonnenschein-Mantel-Debreu-Theorem besagt dabei, d​ass diese Funktionen z​war über bestimmte, allgemeine Eigenschaften verfügen, ansonsten a​ber keine konkreten Aussagen über i​hre Gestalt möglich sind. Bei Heterogenität i​n den Faktorausstattungen u​nd Präferenzen i​st kein eindeutiges Gleichgewicht garantiert.[6]

Andere Gleichgewichtsmodelle

• Partialmarktmodell
• Verallgemeinertes Partialmarktmodell
• Allgemeines Gleichgewichtsmodell
• Edgeworth-Box Modell
• Robinson-Crusoe Modell
• Walrasianisches Gleichgewichtsmodell

Literatur

• Kenneth J. Arrow, Frank Hahn: General Competitive Analysis. North Holland, 1971, ISBN 0-444-85497-5.
• William D. A. Bryant: General equilibrium. Theory and evidence. World Scientific, Hackensack 2010, ISBN 978-981-281-834-8 (E-Book: ISBN 978-981-281-835-5).
• Gerard Debreu: Theory of Value. An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Yale University Press, New Haven und London 1959.
• Gerard Debreu: Existence of Competitive Equilibrium. In: Kenneth J. Arrow, Michael D. Intrilligator (Hrsg.): Handbook of Mathematical Economics. Band 2. North Holland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6, S. 697–743, doi:10.1016/S1573-4382(82)02010-4.
• David M. Kreps: Microeconomic Foundations I. Choice and Competitive Markets. Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8.
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-507340-1.
• James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3, doi:10.1007/978-3-540-32223-8.

Einzelnachweise

1. Dazu etwa Debreu 1982; ausführlich Bryant 2010, Kapitel 2.
2. Kenneth J. Arrow, Gerard Debreu: Existence of an equilibrium for a competitive economy. In: Econometrica. 22, Nr. 3, 1954, S. 265–290, JSTOR 1907353.
3. Vgl., auch zum Beweis, Kreps 2012, S. 342 ff.
4. Man bezeichnet eine binäre Relation B auf X als stetig, wenn die Mengen ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{a}\in X|\mathbf {x} _{a}B\mathbf {x} _{b}\}}$ (obere Konturmenge) und ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{a}\in X|\mathbf {x} _{b}B\mathbf {x} _{a}\}}$ (untere Konturmenge) für alle ${\displaystyle \mathbf {x} _{b}\in X}$ abgeschlossen bezüglich X sind.
5. Vgl. Arrow und Hahn 1971.
6. Wolfram Elsner, Torsten Heinrich, Henning Schwardt: The Microeconomics of Complex Economies. Academic Press, 2015, ISBN 978-0-12-411585-9, S. 115–117.