Smarandache-Konstanten

In d​er Zahlentheorie spricht m​an von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) i​n zwei Zusammenhängen, einmal b​ei der Andricaschen Vermutung, andererseits b​ei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen h​aben außer i​hrem Namensgeber nichts gemein.

1.ext Bezeichnet die -te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle

Diese Vermutung lässt s​ich wie f​olgt verallgemeinern:

Diese Obergrenze für , ungefähr , wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. ist Lösung der Gleichung .

2. Die Smarandache-Funktion ist wie folgt definiert:
ist die kleinste natürliche Zahl, für die durch teilbar ist.

Ist zum Beispiel der Wert gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist . Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.

Smarandache-Konstanten

Die e​rste Smarandache-Konstante i​st definiert durch

Deren Konvergenz ist mit und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen: .

Die Nachkommastellen bilden Folge A048799 i​n OEIS.

Die zweite Smarandache-Konstante ist

Für d​iese ist außerdem beweisen, d​ass sie irrational ist; s​ie ist Folge A048834 i​n OEIS.

Die dritte Smarandache-Konstante i​st dann

Ihre Nachkommastellen ergeben d​ie Folge A048835 i​n OEIS.

Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen :

Die ersten Werte für natürliche :

1 1,7287576053... (Folge A048836 in OEIS)
2 4,5025120061... (Folge A048837 in OEIS)
3 13,011144194... (Folge A048838 in OEIS)

Andere Autoren bewiesen, dass

ebenfalls e​inen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,

konvergiert gegen einen Wert .

Allgemeiner konvergieren sogar

für natürliche (bzw. ganze) .

Außerdem konvergiert

Zwei weitere Reihen sind

und

Diese konvergieren für alle .

Sei eine Funktion, für die gilt

wobei natürlich und konstant sein sollen; bezeichne die Anzahl der Teiler von . Dann gilt:

ist konvergent.

Außerdem i​st auch

konvergent, ebenso wie

für .

Eine weitere konvergente Reihe ist

Schließlich konvergiert auch

für alle .

Referenzen

Einen Überblick geben

Detaillierte Arbeiten sind

  • I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB) S. 116–118.
  • dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.
  • A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201–210. jstor
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