Smarandache-Konstanten
In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) in zwei Zusammenhängen, einmal bei der Andricaschen Vermutung, andererseits bei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen haben außer ihrem Namensgeber nichts gemein.
1.ext Bezeichnet die -te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle Diese Vermutung lässt sich wie folgt verallgemeinern:
Diese Obergrenze für , ungefähr , wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. ist Lösung der Gleichung .
2. Die Smarandache-Funktion ist wie folgt definiert: - ist die kleinste natürliche Zahl, für die durch teilbar ist.
Ist zum Beispiel der Wert gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist . Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.
Smarandache-Konstanten
Die erste Smarandache-Konstante ist definiert durch
Deren Konvergenz ist mit und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen: .
Die Nachkommastellen bilden Folge A048799 in OEIS.
Die zweite Smarandache-Konstante ist
Für diese ist außerdem beweisen, dass sie irrational ist; sie ist Folge A048834 in OEIS.
Die dritte Smarandache-Konstante ist dann
Ihre Nachkommastellen ergeben die Folge A048835 in OEIS.
Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen :
Die ersten Werte für natürliche :
1 1,7287576053... (Folge A048836 in OEIS) 2 4,5025120061... (Folge A048837 in OEIS) 3 13,011144194... (Folge A048838 in OEIS)
Andere Autoren bewiesen, dass
ebenfalls einen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,
konvergiert gegen einen Wert .
Allgemeiner konvergieren sogar
für natürliche (bzw. ganze) .
Außerdem konvergiert
Zwei weitere Reihen sind
und
Diese konvergieren für alle .
Sei eine Funktion, für die gilt
wobei natürlich und konstant sein sollen; bezeichne die Anzahl der Teiler von . Dann gilt:
ist konvergent.
Außerdem ist auch
konvergent, ebenso wie
für .
Eine weitere konvergente Reihe ist
Schließlich konvergiert auch
für alle .
Referenzen
Einen Überblick geben
- Eric W. Weisstein: Smarandache Constants. In: MathWorld (englisch).
- Smarandache Function in PlanetMath
- Constant involving the Smarandache Function: http://fs.gallup.unm.edu//CONSTANT.TXT
Detaillierte Arbeiten sind
- I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB) S. 116–118.
- dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.
- E. Burton: On Some Series Involving the Smarandache Function. In: Smarandache Function Journal 6 (1995) (PDF; 2,6 MB), S. 13–15.
- E. Burton: On Some Convergent Series. In: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB): S. 7–9.
- A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201–210. jstor
- J. Sandor: On The Irrationality Of Certain Alternative Smarandache Series In: Smarandache Notions Journal 8 (1997) (PDF; 8,8 MB) S. 143–144.