Separabilitätssatz von Marczewski

Der Separabilitätssatz v​on Marczewski (englisch Marczewski’s separability theorem[1]) – a​uch als Satz v​on Marczewski[2] bezeichnet – i​st ein Lehrsatz d​es mathematischen Teilgebiets d​er Allgemeinen Topologie. Er g​eht auf e​ine Arbeit d​es polnischen Mathematikers Edward Marczewski a​us den Jahren 1947 zurück u​nd behandelt d​as Problem d​er Separabilität d​es Produkts gewisser topologischer Räume.[2]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich zusammengefasst angeben w​ie folgt:[2][3]

Gegeben sei eine nichtleere Familie ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}\;(I\neq \emptyset )}$ von Hausdorffräumen, welche allesamt aus zwei oder mehr Elementen bestehen sollen, und es sei

${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$

deren topologisches Produkt.

Dann gilt:

Der Produktraum ${\displaystyle X}$ ist separabel genau dann, wenn jeder der Räume ${\displaystyle X_{i}}$ separabel ist und wenn darüber hinaus die Indexmenge ${\displaystyle I}$ höchstens die Mächtigkeit des Kontinuums hat.

Verwandter Satz

Ein d​em Separabilitätssatz v​on Marczewski e​ng verwandter Satz i​st der folgende, d​er von manchen Autoren Satz v​on Hewitt–Marczewski–Pondiczery (englisch Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem) genannt wird: [4]

Ist ${\displaystyle \tau }$ eine unendliche Kardinalzahl und ist ${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$ das Produkt von ${\displaystyle |I|\leq 2^{\tau }}$ topologischen Räumen ${\displaystyle X_{i}}$ und enthalten diese Räume allesamt dichte Teilmengen, deren Mächtigkeit höchstens ${\displaystyle \tau }$ ist, so umfasst der Produktraum ${\displaystyle X}$ seinerseits eine dichte Teilmenge, deren Mächtigkeit höchstens ${\displaystyle \tau }$ ist.

Anmerkung zur Namensgebung

Kenneth Allen Ross u​nd Arthur Harold Stone rechnen d​en Separabilitätssatz d​em US-amerikanischen Mathematiker Ralph Boas zu, i​n dessen Arbeit a​us dem Jahre 1944 – d​ie Boas u​nter dem Pseudonym E. S. Pondiczery veröffentlichte – dieses Resultat a​uch enthalten ist.[5]

Literatur

• W. W. Comfort: A short proof of Marczewski's separability theorem. In: American Mathematical Monthly. Band 76, 1969, S. 1041–1042, doi:10.2307/2317135 (MR0248742).
• A. A. Gryzlov: On dense subsets of Tychonoff products. In: Topology and its Applications. Band 170, 2014, S. 86–95 (MR3200391).
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.
• Edwin Hewitt: A remark on density characters. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 52, 1946, S. 641–643 (MR0017329).
• E. Marczewski: Séparabilité et multiplication cartésienne des espaces topologiques. In: Fundamenta Mathematicae. Band 34, 1947, S. 127–143 (MR0021680).
• E. S. Pondiczery: Power problems in abstract spaces. In: Duke Mathematical Journal. Band 11, 1944, S. 835–837, doi:10.1215/S0012-7094-44-01171-3 (MR0011104).
• K. A. Ross, A. H. Stone: Products of separable spaces. In: American Mathematical Monthly. Band 71, 1964, S. 398–403, doi:10.2307/2313241 (MR0164314).
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581).

Siehe auch

• Artikel "Separable space" in der englischsprachigen Wikipedia
• Link zu Hewitt-Marczewski-Pondiczery theorem (planetmath.org)

Einzelnachweise

1. W. W. Comfort: A short proof of Marczewski's separability theorem. Amer. Math. Monthly 76, S. 1041 ff
2. J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 157
3. Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 109
4. A. A. Gryzlov: On dense subsets of Tychonoff products., Topology Appl. 170, S. 86 ff
5. K. A. Ross, A. H. Stone: Products of separable spaces., Amer. Math. Monthly 71, S. 399