Sensitive Abhängigkeit

Die sensitive Abhängigkeit v​on den Anfangswerten i​st eine zentrale Charakteristik chaotischer dynamischer Systeme. Darunter verstanden w​ird die Eigenschaft solcher Systeme, b​ei einer n​ur infinitesimal kleinen Änderung d​er Anfangsbedingungen e​in vollkommen unterschiedliches Systemverhalten i​m Zeitverlauf z​u erzeugen. In diesem Sinn spricht m​an in d​er Mathematik v​on deterministischem Chaos: Die Entwicklung e​ines chaotischen dynamischen Systems i​st als Folge d​er Unvermeidbarkeit v​on Messfehlern b​ei der Bestimmung d​es Anfangszustandes unvorhersagbar, n​icht aufgrund e​ines stochastischen Verhaltens.

Definition

In der Literatur findet man unterschiedliche Konzeptionen sensitiver Abhängigkeit. Hier sollen drei verbreitete Definitionen angegeben werden. Im Folgenden sei stets

${\displaystyle f\colon I\subseteq \mathbb {R} \to I}$

eine stetige Abbildung und ${\displaystyle (I,f)}$ ein dynamisches System.

Nach Li/Yorke

${\displaystyle f}$ hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Li und Yorke, wenn eine überabzählbare Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq I}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle x,y\in S}$ mit ${\displaystyle x\neq y}$ gilt:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f^{n}(x)-f^{n}(y)|>0}$

und

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }|f^{n}(x)-f^{n}(y)|=0}$

Nach Guckenheimer

${\displaystyle f}$ hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Guckenheimer, wenn eine Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq I}$ von positivem Lebesgue-Maß existiert und ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ so dass für alle ${\displaystyle x\in S}$ und jede Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ ein ${\displaystyle y\in U\cap S}$ und ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ existieren mit

${\displaystyle |f^{n}(x)-f^{n}(y)|>\varepsilon }$

Nach Ruelle

${\displaystyle f}$ hat sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten nach Ruelle, wenn ein ergodisches Maß ${\displaystyle \mu }$ existiert, so dass

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|{\frac {df^{n}}{dx}}(x)\right|=\lambda _{f}>0}$

für ${\displaystyle \mu }$--fast alle ${\displaystyle x\in I}$ erfüllt ist. ${\displaystyle \lambda _{f}}$ ist der Ljapunow-Exponent von ${\displaystyle f}$.

Literatur

• Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.
• Wolfgang Metzler: Nichtlineare Dynamik und Chaos, B.G. Teubner, Stuttgart, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02391-1