Sechseckszahl
Eine Sechseckszahl oder Hexagonalzahl ist eine Zahl, die anhand der Formel
aus einer natürlichen Zahl berechnet werden kann. Die ersten Sechseckszahlen sind
Bei einigen Autoren ist die Null keine Sechseckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.
Der Name Sechseckszahl leitet sich von der geometrischen Figur des Sechsecks ab. Sechseckszahlen lassen sich als ineinandergeschachtelte Sechsecke mit steigender Kantenlänge legen. Sie zählen mit den Dreieckszahlen und Quadratzahlen zur Klasse der Polygonalzahlen. Bildet man die Sechsecke um ein gemeinsames Zentrum, dann erhält man die Hexzahlen (auch zentrierte Sechseckszahlen genannt).
Definition und Berechnung
Sechseckszahlen lassen sich als Sechseck auslegen, wie folgende Abbildung zeigt:
Die -te Sechseckszahl bezeichnet man teilweise mit . Sie lässt sich auch mit Hilfe der -ten Dreieckszahl berechnen.
Summen von Sechseckszahlen
Jede Zahl lässt sich nach dem fermatschen Polygonalzahlensatz als Summe von sechs Sechseckszahlen darstellen. Adrien-Marie Legendre bewies 1830, dass jede Zahl, die größer als 1792 ist, sogar als Summe von nur vier Sechseckszahlen geschrieben werden kann.[1] Unter den kleineren Zahlen gibt es 13 Zahlen, die nicht Summe vierer Sechseckszahlen sind:
Davon sind 11 und 26 die einzigen Zahlen, die nicht als Summe von fünf Sechseckszahlen dargestellt werden können.[2]
Die Summe der ersten Sechseckszahlen ist
die -te sechseckige Pyramidalzahl
Reihe der Kehrwerte
Die Summe der Kehrwerte aller Sechseckszahlen ist
Einzelnachweise
- Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 18
- Eric W. Weisstein: Hexagonal Number. In: MathWorld (englisch).