Polygonalzahl

Eine Polygonalzahl i​st eine Zahl, z​u der e​s ein regelmäßiges Polygon (Vieleck) gibt, d​as sich m​it einer entsprechenden Zahl a​n Steinen l​egen lässt. Beispielsweise i​st die 16 e​ine Polygonalzahl, d​a sich e​in Quadrat a​us 16 Steinen l​egen lässt. Zu d​en Polygonalzahlen zählen u​nter anderem d​ie Dreiecks- u​nd Quadratzahlen.

Die Polygonalzahlen zählen z​u den figurierten Zahlen. Eine andere Art, Zahlen a​uf Polygone zurückzuführen, stellen d​ie zentrierten Polygonalzahlen dar.

Die Polygonalzahlen lassen sich durch eine einfache Rechenvorschrift erzeugen. Man wählt dazu eine natürliche Zahl ${\displaystyle d}$ als Differenz. Die erste Zahl ist jeweils die 1, und alle nachfolgenden Polygonalzahlen entstehen, indem man jeweils die Differenz zur vorhergehenden hinzuaddiert. Die folgenden Beispiele zeigen dies.

Dreieckszahlen

Die Differenz 1 führt zu den Summen ${\displaystyle 1+2+3+4+\ldots }$, aus denen man die Dreieckszahlen ${\displaystyle 1,3,6,10,\ldots }$ erhält.

Quadratzahlen

Die Differenz 2 führt zu den Summen ${\displaystyle 1+3+5+7+\ldots }$, aus denen man die Quadratzahlen ${\displaystyle 1,4,9,16,\ldots }$ erhält.

Fünfeckszahlen

Die Differenz 3 führt zu den Summen ${\displaystyle 1+4+7+10+\ldots }$, aus denen man die Fünfeckszahlen ${\displaystyle 1,5,12,22,\ldots }$ erhält.

Sechseckszahlen

Die Differenz 4 führt zu den Summen ${\displaystyle 1+5+9+13+\ldots }$, aus denen man die Sechseckszahlen ${\displaystyle 1,6,15,28,\ldots }$ erhält.

Die einzelnen Summanden s​ind jeweils d​ie Folgenglieder e​iner arithmetischen Folge m​it dem Anfangsglied 1 u​nd der jeweiligen Differenz (vgl. Differenzenfolge). Dieser Aufbau d​er Polygonalzahlen spiegelt s​ich auch i​n den entsprechenden Polygonen wider:

• 
  Die 10 ist die vierte Dreieckszahl.
• 
  Die 16 ist die vierte Quadratzahl.
• 
  Die 22 ist die vierte Fünfeckszahl.
• 
  Die 28 ist die vierte Sechseckszahl.

Gelegentlich wird auch die ${\displaystyle 0}$ als nullte Dreieckszahl, Quadratzahl usw. definiert. Nach dieser Konvention lautet die Folge der Dreieckszahlen beispielsweise ${\displaystyle 0,1,3,6,10,\ldots }$.

Berechnung

Die jeweils ${\displaystyle n}$-te ${\displaystyle k}$-Eckszahl lässt sich mit der Formel

${\displaystyle {(k-2)n^{2}-(k-4)n \over 2}=(k-2){\binom {n}{2}}+n}$

berechnen.

Liegt eine beliebige ${\displaystyle k}$-Eckszahl ${\displaystyle x}$ vor, dann berechnet sich das zugehörige ${\displaystyle n}$ nach der Formel

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(k-2)x+(k-4)^{2}}}+k-4}{2(k-2)}}.}$

Herleitung

Sei ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ die Anzahl der Seiten. Die ${\displaystyle n}$-te ${\displaystyle k}$-Eckzahl, mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, wird dadurch gebildet, dass ${\displaystyle k-2}$ Seiten um einen Punkt erweitert werden. Die erweiterten Seiten haben ${\displaystyle (k-2)-1}$ gemeinsame Punkte. Die ${\displaystyle (n+1)}$-te ${\displaystyle k}$-Eckzahl hat somit ${\displaystyle (n+1)(k-2)-(k-3)}$ Punkte mehr als die ${\displaystyle n}$-te ${\displaystyle k}$-Eckszahl. Die ${\displaystyle n}$-te ${\displaystyle k}$-Eckszahl ist daher:

${\displaystyle (1\cdot (k-2)-(k-3))+(2\cdot (k-2)-(k-3))+\ldots +(n\cdot (k-2)-(k-3))}$

${\displaystyle =\sum \limits _{i=1}^{n}((k-2)\cdot i-(k-3))}$

${\displaystyle =-n\cdot (k-3)+\sum \limits _{i=1}^{n}(k-2)\cdot i}$

${\displaystyle =-n(k-3)+(k-2)\sum \limits _{i=1}^{n}i}$

${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {I.} }{=}}-n(k-3)+(k-2)\cdot {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}[-2nk+6n+k(n(n+1))-2n(n+1)]}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left[-2nk+6n+kn^{2}+nk-2n^{2}-2n\right]}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left[-nk+4n-2n^{2}+kn^{2}\right]}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left[(k-2)n^{2}-(k-4)n\right]}$

${\displaystyle ={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2}}}$

zu ${\displaystyle \mathrm {I.} }$: Anwendung der Gaußschen Summenformel

Diese Formel behält auch für ein (ebenes, zu einem flächenleeren Doppelstrich entartetes) Zweieck mit ${\displaystyle k=2}$ seine Gültigkeit,

${\displaystyle ={\frac {(2-2)n^{2}-(2-4)n}{2}}=n}$

wobei die damit berechneten "Zweieckszahlen" ${\displaystyle 1,2,3,4,\ldots }$ gerade den natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$ entsprechen, also der Reihensumme von ${\displaystyle n}$ aneinandergereihten Rechensteinen.

Summe der Kehrwerte

Die Summe der Kehrwerte jeweils aller ${\displaystyle k}$-Eckszahlen, ${\displaystyle k>2}$ ist konvergent.[1] Es gilt:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{(k-2)n^{2}-(k-4)n}}={\dfrac {-2\psi ({\frac {2}{k-2}})-2\gamma }{k-4}}}$

(mit ${\displaystyle \gamma }$: Euler-Mascheroni-Konstante und ${\displaystyle \psi (x)}$: Digamma-Funktion)

Anwendungen

Nach dem fermatschen Polygonalzahlensatz lässt sich jede Zahl als Summe von höchstens ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$-Eckszahlen darstellen.

Literatur

• James Mitchell (Hrsg.): A Dictionary of the Mathematical and Physical Sciences, according to the latest Improvements and Discoveries. G. & W. S. Whittaker, London 1823, archive.org.
• Constance Reid: From Zero to Infinity. What Makes Numbers Interesting. 4th edition. Mathematical Association of America, Washington DC 1992, ISBN 0-88385-505-4, Kapitel 5, books.google.de
• Lawrence Downey, Boon W. Ong, James A. Sellers: Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. math.psu.edu (PDF; 93 kB).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Polygonal Number. In: MathWorld (englisch).
• Polygonalzahl bei PlanetMath (englisch)

Einzelnachweise

1. Siehe Artikel von Downey, Ong, Sellers.