Fermatscher Polygonalzahlensatz

Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens $n$ n-Eckszahlen darstellbar ist. Ein bekannter Spezialfall ist der Vier-Quadrate-Satz, dem zufolge jede Zahl als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden kann. Ein Beispiel:

310=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}=289+16+4+1

Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist nach Pierre de Fermat benannt, von dem folgendes Zitat stammt:

„Ich war der erste, der den sehr schönen und vollkommen allgemeinen Satz entdeckt hat, dass jede Zahl entweder eine Dreieckszahl oder die Summe von zwei oder drei Dreieckszahlen ist; jede Zahl eine Quadratzahl oder die Summe von zwei, drei oder vier Quadratzahlen ist; entweder eine Fünfeckszahl oder die Summe von zwei, drei, vier oder fünf Fünfeckszahlen; und so weiter bis ins Unendliche, egal ob es ein Frage von Sechsecks-, Siebenecks- oder beliebigen Polygonalzahlen ist. Ich kann den Beweis, der von vielen und abstrusen Mysterien der Zahlen abhängt, hier nicht angeben; deswegen beabsichtige ich diesem Subjekt ein ganzes Buch zu widmen und in diesem Teil arithmetisch erstaunliche Fortschritte gegenüber den vorhergehenden bekannten Grenzen zu erbringen.“[1]

Ein solches Buch hat Fermat jedoch nie veröffentlicht. Joseph Louis Lagrange bewies 1770 den Spezialfall des Vier-Quadrate-Satzes[2] und Carl Friedrich Gauß 1796 (unveröffentlicht, er gab aber Beweise für den Fall der Quadrate und Kuben in seinen Disquisitiones arithmeticae) und Legendre (1798) den Spezialfall für Dreieckszahlen.[3] Der Beweis des vollständigen Satzes gelang jedoch erst Augustin Louis Cauchy im Jahr 1815.[4] Der Beweis von Cauchy galt damals als Sensation und machte ihn berühmt.[5]

Beweisstruktur

Für den Beweis des Fermatschen Polygonalzahlensatzes werden zunächst die Beweise des Dreieckszahlensatzes sowie des Vier-Quadrate-Satzes vorausgesetzt. Für $n>4$ wird nun das Lemma von Cauchy bewiesen, welches besagt, dass für $a,b\in \mathbb {N^{u}}$ mit $b^{2}<4a$ und $3a<b^{2}+2b+4$ $x,y,z,u$ existieren mit folgenden Eigenschaften:

a=x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}{\text{ und }}b=x+y+z+u

Mithilfe dieses Satzes kann nun der Fermatsche Polygonalzahlensatz bewiesen werden, indem Bedingungen aufgestellt werden, unter denen die Voraussetzungen des Cauchyschen Lemmas gelten.[6]

Weblinks

Eric W. Weisstein: Fermat’s Polygonal Number Theorem. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 6.
Joseph Louis Lagrange: Démonstration d’un théoreme d’Arithmétique. In: Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, 1770. Berlin 1772, S. 123–133.
Am 10. Juli 1796 schrieb Gauß in sein Tagebuch: „EYPHKA num = Δ + Δ + Δ“. Ein Beweis findet sich in Hermann Maser (Hrsg.): Carl Friedrich Gauss’ Untersuchungen über Höhere Arithmetik. Berlin: Springer, 1889, S. 333–334, Art. 293.
Augustin Louis Cauchy: Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones. In: Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 14 (1813–1815), S. 177–220.
Bruno Belhoste: Augustin-Louis Cauchy. A Biography. New York: Springer, 1991, S. 46.
Melvyn B. Nathanson: A Short Proof of Cauchy’s Polygonal Number Theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 99, Nr. 1, 1987, S. 22–24, doi:10.2307/2046263.

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[1] Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 6.

[2] Joseph Louis Lagrange: Démonstration d’un théoreme d’Arithmétique. In: Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, 1770. Berlin 1772, S. 123–133.

[3] Am 10. Juli 1796 schrieb Gauß in sein Tagebuch: „EYPHKA num = Δ + Δ + Δ“. Ein Beweis findet sich in Hermann Maser (Hrsg.): Carl Friedrich Gauss’ Untersuchungen über Höhere Arithmetik. Berlin: Springer, 1889, S. 333–334, Art. 293.

[4] Augustin Louis Cauchy: Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones. In: Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 14 (1813–1815), S. 177–220.

[5] Bruno Belhoste: Augustin-Louis Cauchy. A Biography. New York: Springer, 1991, S. 46.

[6] Melvyn B. Nathanson: A Short Proof of Cauchy’s Polygonal Number Theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 99, Nr. 1, 1987, S. 22–24, doi:10.2307/2046263.