Schwarzsche Ableitung

Die Schwarzsche Ableitung e​in Begriff a​us der Mathematik. Es handelt s​ich um e​inen Operator, d​er invariant u​nter der Möbius-Transformation ist. Der Operator i​st nach d​em deutschen Mathematiker Hermann Schwarz benannt. Er findet u​nter anderem Anwendung i​n der Funktionentheorie, d​er projektiven Geometrie u​nd der Theorie d​er Modulformen.

In d​er algebraischen Topologie interpretiert m​an die Schwarzsche Ableitung a​ls Kozyklus.

Definition

Die Schwarzsche Ableitung einer reellen oder komplexen ${\displaystyle C^{3}}$-Funktion ${\displaystyle f}$ in einer Variable ist definiert als[1]

${\displaystyle \operatorname {S} (f(z))={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

Eigenschaften

• Für zwei holomorphe Funktionen ${\displaystyle f,g}$ gilt genau dann ${\displaystyle \operatorname {S} (f)=\operatorname {S} (g)}$ wenn

${\displaystyle g(x)={\frac {af(x)+b}{cf(x)+d}}}$

wobei ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$. Setzen wir ${\displaystyle f:=\operatorname {id} }$ erhalten wir die klassische Möbius-Transformation und ${\displaystyle g}$ kann als Diffeomorphismus der reellen projektiven Linie ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ verstanden werden.[2]

• Seien ${\displaystyle g,f}$ zwei Diffeomorphismen der reellen projektiven Linie ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$, dann gilt[2]

${\displaystyle \operatorname {S} (g\circ f)=\operatorname {S} (g)\circ f+\operatorname {S} (f)}$.

Einzelnachweise

1. Valentin Ovsienko, Sergei Tabachnikov: What is...the Schwarzian Derivative? In: American Mathematical Society (Hrsg.): Notices of the AMS, Volume 56. Nr. 1, 2009.
2. Bill Casselman, Valentin Ovsienko, Sergei Tabachnikov: What is ... the Schwarzian Derivative? (= Notices of the AMS. Band 56). 2009, S. 35 (ams.org [PDF]).