Schottky-Anomalie

Die Schottky-Anomalie (nach Walter Schottky) i​st in d​er statistischen Physik e​in Peak d​er Wärmekapazität b​ei kleinen Temperaturen i​n Zwei-Niveau-Systemen. Die Schottky-Anomalie k​ann genutzt werden, u​m Energieniveaus i​n Festkörpern z​u bestimmen.

Herleitung

Verlauf der Wärmekapazität mit Schottky-Anomalie

In einem System, dessen Teilchen entweder die Energie 0 oder ${\displaystyle \epsilon }$ annehmen können (Zwei-Niveau-System), ist der Erwartungswert der Energie eines Teilchens im kanonischen Ensemble:

${\displaystyle \langle \epsilon \rangle =\epsilon \cdot {\frac {e^{-\beta \epsilon }}{1+e^{-\beta \epsilon }}}={\frac {\epsilon }{e^{+\beta \epsilon }+1}}}$

mit der inversen Temperatur ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}}$ und der Boltzmann-Konstanten ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$. Die Gesamt-Energie ${\displaystyle N}$ unabhängiger Teilchen ist somit:

${\displaystyle U=N\langle \epsilon \rangle ={\frac {N\epsilon }{e^{+\beta \epsilon }+1}}}$

Die Wärmekapazität i​st demnach:[1]

${\displaystyle C=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)=-{\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial \beta }}=Nk_{\mathrm {B} }\left({\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{2}{\frac {e^{+{\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}}{\left(e^{+{\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}+1\right)^{2}}}}$

Diese Funktion ist in Abhängigkeit von der Temperatur im rechts abgebildeten Diagramm dargestellt. Den deutlichen Peak bei ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\approx 0{,}417\epsilon }$ bezeichnet man als Schottky-Anomalie.[2] Bei Temperaturen, wie sie bei der Anomalie herrschen, ist es möglich, viele Teilchen (z. B. Spins in einem Magneten) ins obere Energie-Niveau anzuregen, während unterhalb dieser Temperatur für viele Anregungen zu wenig Energie zur Verfügung steht und das System bei deutlich höheren Temperaturen in die Sättigung geht. Im Gegensatz zu Phasenübergängen, bei denen die Wärmekapazität divergiert, ist der Peak, der auf die Schottky-Anomalie zurückgeht, breit und glatt.[3]

Einzelnachweise

1. Rudolf Gross: Physik IV – Atome, Moleküle, Wärmestatistik. (PDF) Vorlesungsskript zur Vorlesung im SS 2003. Walther-Meissner-Institut, Bayerische Akademie der Wissenschaften, Lehrstuhl für Technische Physik (E23) der Technischen Universität München, 2003, S. 461, abgerufen am 31. März 2015 (Vorlesungsskript).
2. Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg Verlag, New York 2006, ISBN 3-486-57723-9, S. 350.
3. Stephen Blundell: Magnetism in Condensed Matter. Oxford University Press, New York 2001, ISBN 0-19-850591-4, S. 27.