Satz von van Est

In d​er mathematischen Theorie d​er Lie-Gruppen ermöglicht d​er van Est-Isomorphismus o​der Satz v​on van Est d​ie Berechnung d​er stetigen Kohomologie v​on halbeinfachen Lie-Gruppen. Er w​urde von Willem Titus v​an Est bewiesen.

Aussage

Die stetige Kohomologie ${\displaystyle H_{c}^{*}(G)}$ einer nicht-kompakten halbeinfachen Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ kann berechnet werden als

${\displaystyle H_{c}^{*}(G)=H_{dR}^{*}(G^{u}/K)}$ .

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle K}$ eine maximal kompakte Untergruppe von ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle G^{u}/K}$ das kompakte Dual des symmetrischen Raumes ${\displaystyle G/K}$ , sowie ${\displaystyle H_{dR}^{*}(G^{u}/K)}$ die De-Rham-Kohomologie von ${\displaystyle G^{u}/K}$ .

Beispiele

• Für ${\displaystyle G=SO(n,1)}$ ist ${\displaystyle G/K=H^{n}}$ der hyperbolische Raum, sein dualer symmetrischer Raum ist die Sphäre ${\displaystyle G^{u}/K=S^{n}}$ und mit dem Satz von van Est erhält man

${\displaystyle H_{c}^{i}(SO(n,1)=H_{dR}^{i}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{für }}i=0,n\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

• Für ${\displaystyle G=SL(n,\mathbb {C} )}$ ist ${\displaystyle G/K=SL(n,\mathbb {C} )/SU(n)}$ mit kompaktem Dual ${\displaystyle G^{u}/K=(SU(n)\times SU(n))/SU(n)\simeq SU(n)}$ , mit dem Satz von van Est erhält man

${\displaystyle H_{c}^{*}(SL(n,\mathbb {C} ))=H_{dR}^{*}(SU(n))=\Lambda _{\mathbb {Z} }(b_{3},b_{5},\ldots ,b_{2n-1}),}$

wobei ${\displaystyle b_{i}\in H_{c}^{i}(SL(n,\mathbb {C} ))}$ die i-te Borel-Klasse bezeichnet.

Literatur

• W.T. van Est: Group cohomology and Lie algebra cohomology in Lie groups I, II, Proc. Kon. Ned. Akad. 56 (1953), 484–504
• W.T. van Est: On the algebraic cohomology concepts in Lie groups I, II, Proc. Kon. Ned. Akad. 58 (1955), 225–233, 286–294
• W.T. van Est: Une application d’une méthode de Cartan-Leray, Proc. Kon. Ned. Akad. 58 (1955), 542–544