Stetige Kohomologie

In d​er Mathematik i​st die stetige Kohomologie e​ine Variante d​er Gruppenkohomologie, b​ei deren Definition a​ber nur stetige Kozykel zugelassen werden. Sie i​st häufig Berechnungen zugänglicher a​ls die Gruppenkohomologie u​nd wird deshalb i​n verschiedenen Bereichen d​er Darstellungstheorie u​nd globalen Analysis verwendet.

Definition

Es sei ${\displaystyle G}$ eine topologische Gruppe. Die stetige Kohomologie ${\displaystyle H_{c}^{*}(G)}$ ist die Kohomologie des Komplexes ${\displaystyle (C_{c}^{n}(G),d^{n})}$ mit

${\displaystyle C_{c}^{n}=\left\{f\colon G^{n+1}\to \mathbb {R} \ {\mbox{stetig}}\ \mid f(\sigma \sigma _{1},\ldots ,\sigma \sigma _{n+1})=\sigma \cdot f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})\ \forall \ \sigma \in G\right\}}$

und

${\displaystyle (d^{n-1}f)(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i}f(\sigma _{1},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{i},\ldots ,\sigma _{n+1}).}$

Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene stetige Koketten.

Beispiele

Die stetige Kohomologie halbeinfacher Lie-Gruppen k​ann mit d​em Satz v​on van Est berechnet werden. Beispielsweise ist

${\displaystyle H_{c}^{i}(SO(n,1))={\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{für }}i=0\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

und

${\displaystyle H_{c}^{*}(SL(n,\mathbb {C} ))=\Lambda _{\mathbb {Z} }(b_{3},b_{5},\ldots ,b_{2n-1}),}$

wobei ${\displaystyle b_{i}\in H_{c}^{i}(SL(n,\mathbb {C} ))}$ die i-te Borel-Klasse bezeichnet.

Literatur

• Armand Borel, Nolan Wallach: Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 67. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. ISBN 0-8218-0851-6