Satz von der stetigen Abbildung

Der Satz von der stetigen Abbildung (engl.: Continuous Mapping Theorem CMT) ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie, welcher besagt, dass stetige Funktionen auch dann gegen das Bild des Grenzwertes einer Folge konvergieren, wenn es sich um eine Folge von Zufallsvariablen handelt. Nach der Definition von Heine ist eine stetige Funktion eine Abbildung, welche konvergente Folgen auf konvergente Folgen abbildet (${\displaystyle x_{n}\rightarrow x\Rightarrow f(x_{n})\rightarrow f(x)}$). Im Satz von der stetigen Abbildung ersetzen wir die Folge ${\displaystyle (x_{n})}$ durch eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})}$ und betrachten wahrscheinlichkeitstheoretische Konvergenz.

Dieser Satz w​urde zuerst v​on Henry Mann u​nd Abraham Wald 1943 bewiesen u​nd heißt d​aher auch Mann-Wald-Theorem.

Aussage

Seien ${\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}}$ metrische Räume, ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty },X}$ Zufallsvariablen mit Werten in ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ und ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\rightarrow {\mathcal {Y}}}$ eine Abbildung, die ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$-fast sicher stetig ist, wobei ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ die Verteilung von ${\displaystyle X}$ ist. Dann gilt

${\displaystyle X_{n}{\overset {\mathcal {D}}{\rightarrow }}X\Rightarrow f(X_{n}){\overset {\mathcal {D}}{\rightarrow }}f(X)}$,

${\displaystyle X_{n}{\overset {\mathcal {p}}{\rightarrow }}X\Rightarrow f(X_{n}){\overset {\mathcal {p}}{\rightarrow }}f(X)}$,

${\displaystyle X_{n}{\overset {f.s}{\rightarrow }}X\Rightarrow f(X_{n}){\overset {f.s.}{\rightarrow }}f(X)}$,

wobei w​ir Konvergenz i​n Verteilung, i​n Wahrscheinlichkeit u​nd fast sichere Konvergenz betrachten.

Literatur

• Mann, H. B.; Wald, A. (1943). "On Stochastic Limit and Order Relationships". Annals of Mathematical Statistics. 14 (3): 217–226.