Satz von Wintner-Wielandt

Der Satz v​on Wintner-Wielandt i​st ein mathematischer Lehrsatz a​us der Theorie d​er linearen Operatoren, e​inem Teilgebiet d​er Funktionalanalysis, d​as enge Verbindungen z​ur theoretischen Physik aufweist. Er g​eht in seiner ursprünglichen Fassung zurück a​uf Aurel Wintner (1903–1958)[1] u​nd Helmut Wielandt (1910–2001)[2] u​nd gibt Aufschluss über d​ie Frage, inwieweit d​ie quantenmechanischen Grundoperatoren, welche m​it der heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation verknüpft sind, a​ls beschränkte Operatoren existieren.[3][4]

Im Zusammenhang m​it dem Satz v​on Wintner-Wielandt entstand e​ine Reihe v​on weitergehenden Untersuchungen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich folgendermaßen formulieren:[3][5]

Gegeben sei ein normierter Vektorraum ${\displaystyle X}$ und dazu die normierte Algebra der beschränkten linearen Operatoren ${\displaystyle L(X)}$ von ${\displaystyle X}$, versehen mit der Operatornorm ${\displaystyle \|\cdot \|}$. Der Identitätsoperator von ${\displaystyle X}$ werde mit ${\displaystyle \mathbf {1} _{X}}$ bezeichnet.

Für zwei lineare Operatoren ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ auf ${\displaystyle X}$ und einen (reellen oder komplexen) Skalar ${\displaystyle a}$ sei unter (H) die folgende Gleichung (heisenbergsche Vertauschungsrelation[2]) verstanden:

(H)   ${\displaystyle [P,Q]=a\mathbf {1} _{X}}$[6]

Dann gilt:

Die Gleichung (H) ist dann und nur dann erfüllbar, wenn ${\displaystyle a=0}$ ist, also genau dann, wenn ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ miteinander vertauschbar sind.

Beweis

Wintner h​at einen Beweis m​it Hilfe d​er Spektraltheorie geliefert.[7]

Einen anderen u​nd allgemeineren, d​abei leichter zugänglichen Beweis g​ab Wielandt.[2][8] Der Beweis v​on Wielandt lässt s​ich wie f​olgt darstellen:

I: Ausweitung der heisenbergschen Vertauschungsrelation

Wegen ${\displaystyle [P,Q]=PQ-QP}$[9] lässt sich die heisenbergsche Vertauschungsrelation für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ auf die folgende Identität ausweiten:

(H1)   ${\displaystyle PQ^{n}-Q^{n}P=naQ^{n-1}}$ [10]

Dies ergibt s​ich mittels vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

Den Induktionsanfang für ${\displaystyle n=1}$ liefert (H) selbst.

Induktionsschritt ${\displaystyle n\to n+1}$:

${\displaystyle PQ^{n+1}-Q^{n+1}P=(PQ^{n}-Q^{n}P)Q+Q^{n}(PQ-QP)}$  [11]

Mit d​er Induktionsvoraussetzung ergibt s​ich mittels Einsetzen weiter:

${\displaystyle PQ^{n+1}-Q^{n+1}P=(naQ^{n-1})Q+Q^{n}(a\mathbf {1} _{X})=naQ^{n}+aQ^{n}}$

Somit folgt:

${\displaystyle PQ^{n+1}-Q^{n+1}P=(n+1)aQ^{n}}$

II: Eigentlicher Widerspruchsbeweis

Nun wird als Widerspruchsannahme ${\displaystyle a\neq 0}$ als gegeben angesehen.

Dann folgt zunächst mit (H), dass ${\displaystyle Q}$ nicht der Nulloperator sein kann, und wegen (H1) gilt dies dann für jedes ${\displaystyle Q^{n}}$ und jedes ${\displaystyle Q^{n-1}}$ in gleicher Weise.[12]

Andererseits erhält man aus (H1)[13] für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ die folgende Abschätzung:

${\displaystyle n\cdot |a|\cdot \|Q^{n-1}\|=\|PQ^{n}-Q^{n}P\|=\|PQ^{n}+(-1)Q^{n}P\|\leq \|P\|\cdot \|Q^{n}\|+\|Q^{n}\|\cdot \|P\|=2\cdot \|P\|\cdot \|Q^{n}\|}$

Also weiter:

${\displaystyle n\cdot |a|\cdot \|Q^{n-1}\|\leq 2\cdot \|P\|\cdot \|Q^{n-1}Q\|}$

Also schließlich:

${\displaystyle n\cdot |a|\cdot \|Q^{n-1}\|\leq 2\cdot \|P\|\cdot \|Q^{n-1}\|\cdot \|Q\|}$

Nun kann man durch ${\displaystyle |a|\cdot \|Q^{n-1}\|}$ teilen[14] und erhält für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:

(H2)   ${\displaystyle n\leq {\tfrac {2\cdot \|P\|\cdot \|Q\|}{|a|}}}$

Mit (H2) gelangt man wie gewünscht zu einem Widerspruch, denn die Menge der natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ hat innerhalb der reellen Zahlen keine obere Schranke.

III: Abschluss

Es muss demnach ${\displaystyle a=0}$ gelten. Dies aber besagt, dass ${\displaystyle [P,Q]}$ der Nulloperator ist, was gleichbedeutend mit ${\displaystyle PQ=QP}$ ist.

Zusammenhang mit den quantenmechanischen Grundoperatoren

Der Satz v​on Wintner-Wielandt impliziert, d​ass die quantenmechanischen Grundoperatoren n​icht sämtlich beschränkt s​ein können, a​lso unstetig s​ein müssen.[3][4] Insbesondere können d​ie Hilberträume d​er Quantenmechanik n​icht von endlicher Dimension sein.

Weiterhin i​st nachgewiesen, d​ass im Falle d​er Gültigkeit v​on (H) d​er Skalar s​tets rein imaginär, a​lso ohne Realteil s​ein muss, w​obei Voraussetzung ist, d​ass (H) überhaupt sinnvoll ist.[15]

Verallgemeinerung

Wie d​er Beweis zeigt, i​st die Aussage d​es Satzes v​on Wintner-Wielandt i​n gleicher Weise für j​ede normierte Algebra m​it Einselement gültig.[16]

Literatur

Originalarbeiten

• Arlen Brown and Carl Pearcy: Structure theorem for commutators of operators. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 70, 1964, S. 779–780 (ams.org [PDF; 181 kB]). MR0167847
• Paul R. Halmos: Commutators of operators. In: Amer. J. Math. Band 74, 1952, S. 237–240, JSTOR:2372081 (MR0045310).
• Helmut Wielandt: Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik. In: Math. Ann. Band 121 (1949–1950), S. 21 (MR0030701).
• Aurel Wintner: The unboundedness of quantum-mechanical matrices. In: Physical Rev. Band 71, 1947, S. 738–739 (MR0020724).

Monographien

• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4 (MR0165651).
• Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book (= Graduate Texts in Mathematics. Band 19). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1982, ISBN 3-540-90090-X (MR0675952).
• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4., durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8 (MR2380292).
• Johann v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1932 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 38). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1968, ISBN 3-540-04133-8 (MR0223138).
• Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen. Teil 1: Grundlagen (= Mathematische Leitfäden). Teubner Verlag, Stuttgart [u. a.] 2000, ISBN 3-519-02236-2 (MR1887367).

Weblinks

• Kap. 5 des Skripts zur Vorlesung Mathematische Methoden der Quantenmechanik (Memento vom 7. Mai 2005 im Internet Archive) (SS 2001; PDF; 91 kB), TU München

Fußnoten und Einzelnachweise

1. Wintner: Physical Rev. Band 71.
2. Wielandt: Math. Ann. Band 121.
3. Collatz, S. 77–79.
4. Heuser, S. 102.
5. Halmos, S. 126–127, 333.
6. Wobei ${\displaystyle [P,Q]=PQ-QP}$ ist der sogenannte Kommutator der beiden Operatoren ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ .
7. Halmos, S. 333.
8. Halmos, S. 126, bezeichnet die beiden Beweise als two beautiful proofs.
9. In einer Operatoralgebra schreibt man für die Hintereinanderausführung zweier Operatoren ${\displaystyle P\colon X\to X}$ und ${\displaystyle Q\colon X\to X}$ aus Übersichtlichkeitsgründen oft ${\displaystyle PQ}$ statt ${\displaystyle P\circ Q}$.
10. Hier ist ${\displaystyle Q^{0}=\mathbf {1} _{X}}$ zu beachten.
11. Denn nach Ausmultiplizieren heben sich die beiden mittleren Terme weg.
12. Dies zeigt man ausgehend von (H1) mit Hilfe eines weiteren Induktionsbeweises.
13. Von rechts nach links gelesen!
14. Da ${\displaystyle Q^{n-1}}$ nicht der Nulloperator ist, gilt ${\displaystyle |a|\cdot \|Q^{n-1}\|\neq 0}$.
15. v. Neumann, S. 123.
16. Halmos, S. 126.