Satz von Wallace

Der Satz v​on Wallace i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Topologie, welcher a​uf den amerikanischen Mathematiker Alexander Doniphan Wallace (1905–1985)[1] zurückgeht.[2][3][4] Er behandelt e​ine spezielle Trennungseigenschaft kompakter Produktunterräume i​n Produkttopologien: Ein Produkt kompakter Mengen i​n einer offenen Menge l​iegt in e​inem darin enthaltenen Produkt offener Mengen.

Formulierung des Satzes

Gegeben seien zwei topologische Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ und darin eingelagert zwei kompakte Unterräume ${\displaystyle A\subseteq X}$ und ${\displaystyle B\subseteq Y}$. Sei ferner ${\displaystyle W}$ eine offene Obermenge von ${\displaystyle A\times B}$ in ${\displaystyle X\times Y}$.

Dann existieren offene Teilmengen ${\displaystyle U\subseteq X}$ und ${\displaystyle V\subseteq Y}$ mit ${\displaystyle A\times B\subseteq U\times V\subseteq W}$.

Korollar

Jeder kompakte Hausdorff-Raum i​st normal.[5]

Sind nämlich  ${\displaystyle A}$  und   ${\displaystyle B}$  abgeschlossene, disjunkte Teilmengen des kompakten Hausdorffraums ${\displaystyle X}$, so ist   ${\displaystyle A\times B\subset W:=\{(x,y)\in X\times X;x\not =y\}\subset X\times X}$ . Da   ${\displaystyle X}$   ein Hausdorffraum ist, ist die Diagonale abgeschlossen, also ist   ${\displaystyle W}$   offen. Wendet man nun obigen Satz von Wallace an, so erhält man zwei offene Mengen   ${\displaystyle U\supseteq A}$  und   ${\displaystyle V\supseteq B}$   mit   ${\displaystyle U\times V\subseteq W}$ , d. h.   ${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$ . Damit ist   ${\displaystyle X}$   normal.

Literatur

• John L. Kelley: General topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 27). Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer, New York NY u. a. 1975, ISBN 3-540-90125-6.
• Anthony Connors Shershin: Introduction to topological semigroups. University Presses of Florida, Miami FL 1979, ISBN 0-8130-0664-3.
• Kapil D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern, New Delhi u. a. 1983, ISBN 0-85226-444-5.

Einzelnachweise

1. Weiteres zur Vita siehe hier.
2. Kelley: General topology. 1975, S. 142.
3. Shershin: Introduction to topological semigroups. 1979, S. 23.
4. Joshi: Introduction to General Topology. 1983, S. 171.
5. Shershin: Introduction to topological semigroups. 1979, S. 24.