Satz von Vitali-Hahn-Saks

Der Satz v​on Vitali-Hahn-Saks i​st ein Satz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Maßtheorie. Er g​eht auf Giuseppe Vitali[1], Hans Hahn[2] u​nd Stanisław Saks[3] zurück u​nd besagt i​m Wesentlichen, d​ass der mengenweise Grenzwert e​iner Folge v​on signierten Maßen wieder e​in solches ist.

Erste Formulierung des Satzes

Es sei ein Maßraum und darauf eine Folge von signierten Maßen, so dass für jede messbare Menge konvergiert. Weiter sei ein endliches Maß auf , so dass jedes absolut stetig gegen ist. Dann definiert die Formel ein signiertes Maß auf , das ebenfalls absolut stetig gegen ist.[4][5]

Der besondere Inhalt dieses Satzes besteht darin, dass sich die σ-Additivität der auf überträgt und dass die Absolutstetigkeit gegen erhalten bleibt. Von der Voraussetzung über die Existenz von kann man sich befreien, denn für jede Folge ist durch ein Maß definiert, gegen das jedes absolutstetig ist. Dabei sind und die Variation bzw. Totalvariationsnorm von . Daher kann man obigen Satz auch ohne die Erwähnung der Absolutstetigkeit formulieren und erhält den folgenden auch als Konvergenzsatz von Nikodým bekannten Satz:

Zweite Formulierung des Satzes

Es sei ein Maßraum und darauf eine Folge von endlichen signierten Maßen, so dass für jede messbare Menge konvergiert und endlich ist. Dann definiert die Formel ein signiertes Maß auf .[6]

Diese Version ist schwächer, da sie nicht mehr die Erhaltung der Absolutstetigkeit gegen ein weiteres Maß enthält. Man beachte, dass die Endlichkeit der eine notwendige Bedingung ist, wie folgendes Beispiel verdeutlicht. Sei und , wobei die Borelsche sigma-algebra auf bezeichnet. Für , definiere falls , andernfalls definiere . Dann gilt falls nicht nach oben beschränkt ist. Andernfalls gilt . ist kein Maß, da sowohl aber auch gelten müsste.

Anwendungen

Der Raum der signierten Maße auf einem Maßraum ist ein Vektorraum , der mit der Totalvariation als Norm ein Banachraum wird. Eine wichtige Anwendung des Satzes von Vitali-Hahn-Saks besteht darin, die relativ schwach kompakten Mengen in als genau diejenigen beschränkten Mengen zu charakterisieren, die gleichmäßig absolutstetig gegen ein endliches Maß sind.[7] Als weitere Anwendung ergibt sich, dass schwach folgenvollständig ist, das heißt, dass jede Cauchy-Folge des in der schwachen Topologie uniformen Raums schwach konvergiert.[8]

Einzelnachweise

  1. G. Vitali: Sull’integrazione per serie, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1907), Band 23, Seiten 137–155
  2. H. Hahn: Über Folgen linearer Operationen, Monatshefte für Mathematik und Physik (1922), Band 32, Seiten 3–88
  3. S. Saks: Addition to the Note on Some Functionals, Transactions of the American Mathematical Society (1933), Band 35, Seiten 965–970
  4. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.3
  5. J. L. Doob: Measure Theory, Kapitel IX, Absatz 10: Vitali-Hahn-Saks-theorem
  6. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.4
  7. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.7
  8. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.5
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. The authors of the article are listed here. Additional terms may apply for the media files, click on images to show image meta data.