Satz von Tamano

Das Satz v​on Tamano i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Topologie, d​er auf d​en japanischen Mathematiker Hisahiro Tamano zurückgeht.[1][2][3][4] Er charakterisiert d​ie Parakompaktheit topologischer Räume mittels d​er Konzepte v​on Normalität u​nd Kompaktheit u​nter Einbeziehung d​er Stone-Čech-Kompaktifizierung.

Formulierung des Satzes

Für jeden Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

1. ${\displaystyle X}$ ist parakompakt.
2. ${\displaystyle X}$ ist vollständig regulär und das topologische Produkt ${\displaystyle X\times {\beta {X}}}$ von ${\displaystyle X}$ mit seiner Stone-Čech-Kompaktifizierung ${\displaystyle \beta {X}}$ ist normal.
3. Das topologische Produkt ${\displaystyle X\times K}$ von ${\displaystyle X}$ mit jedem beliebigen kompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle K}$ ist normal.

Korollar

Für jeden parakompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ und jeden kompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle Y}$ ist das topologische Produkt ${\displaystyle X\times Y}$ ein parakompakter Hausdorff-Raum.[5][6][7]

Dies f​olgt sofort m​it (3) u​nd dem Satz v​on Tychonoff. Dieses Korollar wiederum z​ieht seinerseits d​as folgende Resultat n​ach sich:

Für jeden Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:

1. ${\displaystyle X\times Y}$ ist normal für jeden parakompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle Y}$.
2. ${\displaystyle X\times Y}$ ist parakompakt für jeden parakompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle Y}$.[8]

Literatur

Artikel

• Hisahiro Tamano: On Paracompactness. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 10, Nr. 3, 1960, S. 1043–1047, doi:10.2140/pjm.1960.10.1043.

Monografien

• Gregory Naber: Set-theoretic Topology. With emphasis on problems from the theory of coverings, zero dimensionality and cardinal invariants. University Microfilms International, Ann Arbor MI 1977, ISBN 0-8357-0257-X.
• Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659).
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.

Einzelnachweise

1. Tamano: On Paracompactness. 1960, S. 1043–1047.
2. Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 161.
3. Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 237.
4. Willard: General Topology. 1970, S. 154.
5. Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 148.
6. Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 223.
7. Schubert: Topologie. 1975, S. 85.
8. Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 163.