Satz von Stallings

Der Satz v​on Stallings i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er Gruppentheorie, d​er Gruppen m​it mehr a​ls einem Ende charakterisiert. Aus i​hm ergibt s​ich die gelegentlich ebenfalls a​ls Satz v​on Stallings o​der Satz v​on Stallings-Swan bezeichnete Charakterisierung freier Gruppen d​urch ihre kohomologische Dimension.

John Stallings u​nd Richard Swan erhielten dafür d​en Colepreis für Algebra.

Satz von Stallings über Enden von Gruppen

Für eine endlich erzeugte Gruppe ${\displaystyle G}$ bezeichne ${\displaystyle e(G)}$ die Anzahl der Enden des Cayley-Graphen von ${\displaystyle G}$. (Diese Anzahl ist unabhängig von der Wahl des für die Konstruktion des Cayley-Graphen verwendeten Erzeugendensystems.) Nach einem Satz von Freudenthal gilt entweder ${\displaystyle e(G)\leq 2}$ oder ${\displaystyle e(G)=\infty }$.

Der Satz von Stallings besagt, dass ${\displaystyle e(G)>1}$ genau dann der Fall ist, wenn sich ${\displaystyle G}$

• entweder als nichttriviales amalgamiertes Produkt ${\displaystyle G=G_{1}*_{A}G_{2}}$ zweier endlich erzeugter Gruppen über einer endlichen amalgamierten Untergruppe
• oder als nichttriviale HNN-Erweiterung ${\displaystyle G=G_{1}*_{A}}$ einer endlich erzeugten Gruppe über einer endlichen Gruppe

zerlegen lässt.

Insbesondere gilt für torsionsfreie endlich erzeugte Gruppen ${\displaystyle e(G)=\infty }$ genau dann, wenn ${\displaystyle G}$ ein freies Produkt ${\displaystyle G=G_{1}*G_{2}}$ zweier nichttrivialer Untergruppen ist.

Satz von Stallings-Swan über Charakterisierung freier Gruppen

Aus dem Satz von Stallings folgt, dass eine endlich erzeugte Gruppe genau dann frei ist, wenn für ihre kohomologische Dimension ${\displaystyle cd_{\mathbb {Z} }(G)=1}$ gilt.

Eine allgemeinere Form wurde von Swan bewiesen. Sei ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Eins und ${\displaystyle G}$ eine torsionsfreie Gruppe. Dann ist ${\displaystyle G}$ genau dann frei, wenn ${\displaystyle cd_{R}(G)=1}$ gilt. Dieser Satz kommt ohne die Annahme aus, dass ${\displaystyle G}$ endlich erzeugt ist. Die Annahme der Torsionsfreiheit ist für Gruppen mit ${\displaystyle cd_{\mathbb {Z} }(G)<\infty }$ immer erfüllt.

Eine weitere Folgerung ist, d​ass eine torsionsfreie Gruppe, d​ie eine f​reie Untergruppe v​on endlichem Index enthält, selbst f​rei sein muss.

Literatur

• John Stallings: On torsion-free groups with infinitely many ends. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 312–334.
• Richard Swan: Groups of cohomological dimension one. J. Algebra 12 (1969), 585–610.
• Daniel Cohen: Groups of cohomological dimension one. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 245 (1972), Springer-Verlag, Berlin-New York.
• Martin Dunwoody: Accessibility and groups of cohomological dimension one. Proc. London Math. Soc. (3) 38 (1979), no. 2, 193–215.
• Martin Dunwoody: The accessibility of finitely presented groups. Invent. Math. 81 (1985), no. 3, 449–457.
• Michail Gromow: Hyperbolic groups. Essays in group theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8 (1987), Springer, New York, 75-263.
• Graham Niblo: A geometric proof of Stallings' theorem on groups with more than one end. Geom. Dedicata 105 (2004), 61–76.
• Michail Kapovich: Energy of harmonic functions and Gromov's proof of Stallings' theorem. Georgian Math. J. 21 (2014), no. 3, 281–296.