Satz von Poincaré-Birkhoff

Der Satz v​on Poincaré-Birkhoff (auch Poincarés letzter Satz o​der Geometrischer Satz v​on Poincaré genannt) i​st ein Lehrsatz a​us der symplektischen Geometrie u​nd Theorie dynamischer Systeme über d​ie Existenz v​on Fixpunkten für flächenerhaltende Abbildungen. Er besagt, d​ass eine flächenerhaltende Abbildung e​ines Kreisrings, welche d​ie beiden Randkomponenten i​n unterschiedliche Richtungen dreht, mindestens z​wei Fixpunkte h​aben muss.

Gelegentlich w​ird auch e​ine Folgerung a​ls Poincaré-Birkhoff-Theorem bezeichnet. Sie besagt, d​ass bei d​er Störung e​ines dynamischen Systems m​it invarianten Tori rationaler Windungszahl e​ine gerade Anzahl v​on Fixpunkten d​er Poincaré-Abbildung erhalten bleibt.

Zu d​en höher-dimensionalen Verallgemeinerungen d​es Satzes v​on Poincaré-Birkhoff gehört d​ie mittels Floer-Homologie bewiesene Arnold-Vermutung.

Satz

Seien ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$ mit ${\displaystyle a<b}$ und sei ${\displaystyle R}$ der Kreisring

${\displaystyle R=\left\{(x,y)\colon (x,y)\in \mathbb {R} ^{2},a\leq {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq b\right\}.}$

Sei in Polarkoordinaten eine Abbildung ${\displaystyle \Phi \colon R\to R,(r,\theta )\to (\phi (r,\theta ),\psi (r,\theta ))}$ gegeben, für die gilt

• ${\displaystyle \Phi }$ ist flächentreu,
• ${\displaystyle \phi (a,\theta )=a,\phi (b,\theta )=b}$ für alle ${\displaystyle \theta }$,
• ${\displaystyle \psi (a,\theta )<\theta ,\psi (b,\theta )>\theta }$ für alle ${\displaystyle \theta }$.

Dann hat ${\displaystyle \Phi }$ mindestens zwei Fixpunkte.[1]

Literatur

• Henri Poincaré: Sur un théoréme de géométrie, Rend. Circ. Mat. Palermo 33, 374–407 (1912)
• George David Birkhoff: An extension of Poincaré's last geometric theorem, Acta Math. 47, 297–311 (1925)
• Morton Brown, Walter David Neumann: Proof of the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem, Michigan Math. J. 24, 21–31 (1977)
• Elmar Winkelnkemper: A generalization of the Poincaré-Birkhoff theorem, Proc. AMS 102, 1028–1030 (1988)

Einzelnachweise

1. Guido Walz (Hrsg.), Lexikon der Mathematik, Band 4, Springer Spektrum 2017, S. 218, ISBN 978-3-662-53499-1